Quatre points cocycliques

Jean-Louis Ayme

Bonsoir,

simple mais surprenant...

1. ABC un triangle

2. D le pied de la A-bissectrice intérieure

3. T le point d'intersection de la médiatrice de [AD] et de la perpendiculaire à (BC) en D.

Question : B, P, T et C sont cocycliques. 

Sincèrement

Jean-Louis

Bouzar

Bonjour Jean-Louis,

Voici une illustration.

Sincèrement

Bouzar

Voici des autres propriétés de ta configuration.

Question 2 : $ADT$ est un triangle isocèle.

Question 3 : Les triangles $ATP, BDT, CDT, DTP, ITP$ sont rectangles.

Question 4 : Les cercles $\odot(ATP), \odot(ABC)$ sont tangents.

Question 5 : La droite $(BC)$ est tangente au cercle $\odot(DTP)$ au point $D$.

Question 6 : Les cercles $\odot(ABD), \odot(BCI)$ sont orthogonaux.

Amicalement

Jean-Louis Ayme

Oups! 
P est le milieu de [AD].

Désolé
Jean-Louis

pappus

Mon cher Jean-Louis

Meilleurs Voeux et Merci pour toutes tes énigmes.

Sur ma figure, $AE$ est la bissectrice extérieure, on a donc une division harmonique:

$$(B,C,D,E)=-1$$

$F$ est le milieu de $DE$, (Axiome de Thalès)

$$FD^2= FE^2=\overline{FB}.\overline{FC}$$ (relation de Newton).

Dans le triangle rectangle $DFQ$, on a:

$$FD^2=\overline{FP}.\overline{FQ}$$

Ainsi

$$\overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FP}.\overline{FQ}$$

Et les points $B$, $C$, $P$, $Q$ sont cocycliques.

Amitiés

pappus

Chaurien

L'énoncé initial ne définit pas le point $P$. Est-ce le milieu de $AD$ ? Fallait-il le deviner ?

Rescassol

Bonsoir,

Oui, Chaurien, Jean-Louis l'a précisé dans son deuxième message le 7 janvier.

Cordialement,
Rescassol