Trois cercles coaxiaux

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

1. ABC       un triangle

2. H, G       l’orthocentre, le point médian

3. 0, 1, 2    le cercle circonscrit, d’Euler, de diamètre [HG].

Question  : 0, 1 et 2 sont coaxiaux.

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Conséquence immédiate de la relation bien connue $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$, les trois centres sont sur la droite d'Euler.

Cordialement,
Rescassol

Bouzar

Bonjour,

Des cercles coaxiaux sont des cercles dont les centres sont alignés et qui partagent un axe radicale commun.

Cordialement

Jean-Louis Ayme

Bonjour,
merci Rescassol et Bouzar...

La disposition des points cités sur la droite d'Euler conduit en effet au résultat, mais quel théorème dot-on invoquer pour conclure?

Sincèrement
Jean-Louis

jelobreuil

Bonjour Jean-Louis, Rescassol, Bouzar,  et tous,

Je ne connais pas le théorème dont tu parles, Jean-Louis, mais en sachant que le point d'intersection de l'axe radical des trois cercles et de la droite d'Euler du triangle doit avoir la même puissance par rapport aux trois cercles, et en écrivant les expressions de cette puissance par rapport à chacun de ces cercles, j'aboutis à la conclusion que ce point d'intersection se trouve, sur la droite d'Euler au-delà de $H$ par rapport à $O$, à une distance $d$ de $O$ égale à $(OH/4 + 3R²/4OH)$.

En effet, les expressions de cette puissance par rapport, respectivement, au cercle circonscrit, au cercle d'Euler et au cercle de diamètre $HG$ sont les suivantes :

$d² - R² =  (d - OH/2)² - (R/2)² = (d - 2OH/3)² - (OH/3)²$

Les première et deuxième expressions donnent l'égalité : $d.OH = 3R²/4 + OH²/4$

Les première et troisième expressions donnent l'égalité : $4d.OH/3 = R² + OH²/3$

Et par différence, $d.OH/3 = R²/4 +OH²/12$ et l'expression de $d$ indiquée ci-dessus. 

Maintenant, je ne sais pas s'il existe une relation simple liant $R$ et $OH$ ... 

Amitiés, Jean-Louis B.

Edit: correction d'une faute de grammaire

pappus

Bonjour à tous

Cela résulte d'un théorème très général:

On considère deux cercles $\Gamma(O,R)$ et $\Gamma(O',R')$ de rayons différents $R\not=R'$.

Ils admettent deux centres d'homothétie $I_+$ et $I_-$.

Le cercle $\gamma$ de diamètre $I_+I_-$ s'appellait traditionnellement le cercle de similitude, on se demande bien pourquoi dans notre géométrie gallicane réduite aujourd'hui aux acquêts thaléso-pythagoriciens.

Ces trois cercles $\Gamma$, $\Gamma'$, $\gamma$ sont coaxiaux, pourquoi pas?

Bof!

Amicalement

pappus