Projective ab ovo

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Réponses

  • @GaBuZoMeu ; qu'appelons-nous "une structure d'espace projectif" ?  J'imagine que c'est l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel. Ou l'ensemble des vecteurs de E sauf {0}, quotienté par la proportionnalité. Avec la topologie quotient de celle de R^n ?

    Je ne crois pas avoir vu auparavant que l'espace projectif est la réunion de ses cartes affines, n+1 suffisant s'il est de dimension n.
    Ce qui n'est pas assez clair pour moi, c'est ce que signifie ici "recouvre". 
    J'ai en tête une vieille représentation des "cartes" pour une variété topologique F : une bijection entre une partie $U_a$ de $F$ sur un ouvert  de $R^n$. Ces cartes constituent finalement un atlas à condition que les $U_a$ recouvrent $F$ et pourvu qu'il y ait une application de "changement de carte" pour ce qui concerne les intersections de domaines $U_a$. Cela semble éminemment LOCAL.
    Qu'est-ce qu'une partie de P2 ? Par exemple l'ensemble des droites qui passent par un point. 
    Ou l'ensemble des points d'une conique.


  • GaBuZoMeu
    Modifié (19 Jan)
    Structure d'espace projectif : j'ai déjà répondu ici  https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2515028/#Comment_2515028
    L'histoire de cartes affines, tu peux voir ça sur $\mathrm{P}^n(\mathbb R)$ avec ses coordonnées homogènes $(x_0:\ldots:x_n)$. Les $n+1$ cartes affines qui le recouvrent sont les complémentaires $U_i$ des hyperplans $x_i=0$ pour $i=0,\ldots,n$. Tu vois bien la bijection de chaque $U_i$ sur $\mathbb R^n$, et par exemple le morphisme de changement de carte pour passer de la carte n°$0$ à la carte n°$1$ est $(x_1,\ldots,x_n) \mapsto \left(\dfrac1{x_1},\dfrac{x_2}{x_1},\ldots,\dfrac{x_n}{x_1}\right)$ défini sur le complémentaire de $x_1=0$.
  • Merci. J'ai beaucoup appris dans ce fil. Je n'ai rien contre le dessin en perspective, ni contre l'intervention d'un peu de géométrie dans l'espace pour "voir" que parallèles et concourantes dépendent du point de vue. 
    Une mise en bonne forme reste nécessaire pour présenter à des jeunes la démonstration de Pappus général miraculeusement ramenée à Pappus parallèle par l'intervention de l'infini, qui se point là inopinément.
    J'ai encore du travail.
    L'os (didactique ?) reste, en fait, le "théorème de l'élève inventif". Ce que tu dis en enchainant sur le dessin en perspective est très intéressant... mais les diagonales d'un quadrilatère ne se coupent pas, en général, en leur milieu. La démonstration à l'aide de la "droite de l'infini" n'a pas marché. Où est l'erreur ? Je peux dire à l'élève "en projectif il n'y a pas de milieu". Je ne crois pas que cela suffise.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (19 Jan)
    GaBuZoMeu a dit :
    Pour ce qui est du "théorème" de l'élève inventif, il a en fait bien vu comment tracer le milieu d'un segment vu en perspective, en s'aidant de la ligne d'horizon. L'intersection des diagonales est bien leur milieu pour la structure affine du plan projectif privé de la droite $(EF)$.
    Faire du dessin en perspective, ça peut éclairer la vision de la liaison affine-projectif.
    À mon avis, tu es trop pessimiste sur la capacité de compréhension de l'élève inventif. Si tu as compris ce qui se passe, il le peut aussi.

  • Julia Paule
    Modifié (19 Jan)
    @Malgame
    Pour l'espace projectif de dimension $n$ recouvert par $n+1$ hyperplans affines, j'imagine qu'il s'agit des hyperplans (de l'espace vectoriel sous-jacent) d'équation $X_0=1, X_1=1, \cdots X_n=1$, complémentaires des hyperplans projectifs $X_0=0
    , X_1=0, \cdots X_n=0$. En effet tout point $(x_0 : x_1 : \cdots : x_n)$ de l'espace projectif a au moins une coordonnée non nulle, disons $x_0$, alors il appartient à l'hyperplan affine d'équation $X_0=1$ (puisque les coordonnées sont homogènes, il suffit de les diviser par $x_0$). Ces hyperplans affines sont des ouverts.
    Pour ce qui est de tes élèves, il me semble faisable de les faire travailler selon une perspective dans un plan avec sa droite de l'infini, par contre cela paraît plus difficile de les faire passer d'une perspective à  une autre dans un espace de dimension 3. Or la démonstration à l'aide de la droite de l'infini, complémentaire d'un plan affine, utilise ce changement de perspective.
  • Oui j'ai bien lu deux fois que : L'intersection des diagonales est bien leur milieu pour la structure affine \\ du plan projectif privé de la droite (EF).
    et cette phrase concentre bien ce qui me gêne. J'ai mis \\ pour souligner que tu m'affirmes clairement que dans un plan affine, les diagonales d'un quadrilatère quelconque se soupent en leur milieu. (Que cette structure affine résulte de telle ou telle opération c'est autre chose. En quoi est-ce que ça change le fait qu'il s'agit d'une structure affine ?) Alors tu affirmes que dans le plan affine, tous les quadrilatères sont "alike", parallélogrammes, ou non. Et nous savons que ce n'est pas exact. Par contre, c'est vrai dans le plan projectif. Mais là, on ne dira pas que tel point est le milieu de tel segment diagonal, parce qu'il n'y a pas de segment.
    Qu'un dessinateur puisse utiliser un "horizon" pour déterminer un milieu, c'est très intéressant, c'est passionnant, et ça a certainement un lien avec notre sujet, mais il faudrait parvenir à dire clairement quel lien.

    Le théorème général de Pappus est vrai (dans le plan affine, euclidien ou non, dans un plan projectif...).
    Le théorème disant que les diagonales d'un quadrilatère quelconque se coupent en leur milieu est faux dans un plan affine et n'a pas de sens dans le plan projectif.
    La question est de déterminer où est la faute, puisque, du moins en apparence, les deux résultats sont obtenus par un argument similaire.



  • Bonjour @Malgame,
    Tu ne comprends vraiment pas ou tu fais semblant ? 
    L'intersection des diagonales est bien leur milieu pour la structure affine du plan projectif $\Large\color{red}\mathbf{privé\ de\ la\ droite}\ (EF)$.
    Et la droite $(EF)$ n'est pas n'importe laquelle : les points $E$ et $F$ sont les points d'intersection des côtés opposés du quadrangle dans le plan projectif. Ce qui fait que dans le plan affine complémentaire de la droite $(EF)$ dans le plan projectif, le quadrangle est un parallélogramme. Il n'est bien sûr pas un parallèlogramme dans le plan projectif, cela n'aurait aucun sens.
    Je redemande : tu n'as toujours pas compris ce qu'est la structure affine du complémentaire d'un hyperplan d'un espace projectif ?
  • Je ne fais pas semblant. Que je sois idiot ou névrosé, c'est tout à fait possible, mais même avec de telles intimidations (et d'autres, pires !) les curés ne m'ont pas convaincu (à douze ans) de la transsubstantiation...

    Je crois que tu te dérobes à la difficulté. Je pense que si un jeune te dit qu'il a démontré que les diagonales des quadrilatères se coupent en leur milieu, grâce à la droite (EF) à l'infini, concrètement, tu ne vas pas lui dire qu'il a raison, ni qu'il a raison "en perspective". 
    Tu vas lui dire qu'il tire une conséquence fausse de cette méthode. La difficulté pour moi c'est de voir précisément où est la faute.

    L'élève n'a certes pas démontré que les diagonales des quadrilatères tracés dans un plan affine se coupent en leur milieu.
    Pourtant, le prof dit avoir démontré le théorème de Pappus général dans le plan affine, par le même argument.







  • Vassillia
    Modifié (20 Jan)

    Dans la figure précédente, on constate que
    (AB) et (CD) se coupent sur la droite de l'infini donc elles sont parallèles
    (BC) et (AD) se coupent sur la droite de l'infini donc elles sont parallèles
    Bilan ABCD est un parallélogramme

    (AB) et (CE) se coupent sur la droite de l'infini donc elles sont parallèles
    (BC) et (AE) ne se coupent pas sur la droite de l'infini donc elles ne sont pas parallèles
    Bilan ABCE est un trapèze qui n'est pas un parallélogramme

    Pour un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu donc G est le milieu de [AC] et [BD]
    Pour un trapèze qui n'est pas un parallélogramme, malheureusement, ce n'est plus vrai.
    Non seulement je vais lui dire qu'il a raison mais je le fais moi aussi !
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Julia Paule
    Modifié (20 Jan)
    Concernant la structure algébrique d'un espace projectif, je posais la question surtout par rapport à des lois qu'on pourrait y mettre (comme espace quotient d'un espace vectoriel, ou d'autres lois), et analyser en quoi le fait qu'il s'agit de droites vectorielles privées de zéro (au lieu de droites vectorielles) pourrait être gênant. Mais je pense cela ne l'est pas (cela se saurait) car on ne s'intéresse aux droites vectorielles que pour leur direction.
  • @Malgame , tu caches ton incompréhension derrière celle d'un supposé "jeune inventif".  Je pense qu'un vrai jeune inventif aurait moins de mal que toi à voir un parallélogramme $ABCD$ dans le plan qui a pour ligne d'horizon la droite $(EF)$.
    Tiens, un petit exercice pour t'entraîner.  On a planté deux poteaux dans la plaine. Peux-tu planter deux autres poteaux de façon à avoir des poteaux alignés et équidistants (Géométrie affine dans le complémentaire de la ligne d'horizon) ? Je pense qu'un jeune inventif saurait faire après quelques explications du genre : l'alignement est préservé et les parallèles dans le plan affine se coupent sur la ligne d'horizon.






  • "Pour ce qui est de tes élèves, .... paraît plus difficile de les faire passer d'une perspective à  une autre dans un espace de dimension 3. Or la démonstration à l'aide de la droite de l'infini, complémentaire d'un plan affine, utilise ce changement de perspective."



    Franchement, penses-tu un élève incapable de voir ça ?
  • Julia Paule
    Modifié (20 Jan)
    @Malgame Je ne sais pas si cela va t'aider. Quand on prive un plan projectif d'une de ses droites projectives (n'importe laquelle), le restant (i.e. le plan projectif privé la droite projective) peut être mis en bijection avec un plan affine. 
    Il fait faire un dessin sur une feuille de papier avec une origine $O$, des droites vectorielles (donc qui passent par $O$) dans un espace de dimension $3$ (donc qui partent dans les $3$ dimensions, mais on le représente sur une feuille de papier), on dessine le plan vectoriel (donc qui passe par $O$) qui représente la droite projective, et un plan affine parallèle au plan vectoriel dessiné au-dessus du plan vectoriel. Les droites vectorielles qui ne sont pas dans le plan vectoriel intersectent le plan affine en un point du plan affine, bijectivement, i.e. une droite vectorielle coupe le plan affine en un unique point, et un point du plan affine donne une unique droite vectorielle.
    On dit que le plan projectif privé de la droite projective a une structure de plan affine, car il peut être mis en bijection avec ce plan affine.
    On a que le plan projectif devient l'union disjointe du plan affine (en fait les droites vectorielles qui coupent bijectivement le plan affine) et de la droite projective (le plan vectoriel contenant les droites vectorielles qui ne le coupent pas).
    Dans ce plan affine, on a des droites affines parallèles, qui ne se coupent pas dans le plan affine, mais sur la droite projective de départ (celle dont on a privé le plan projectif), on dit qu'elles se coupent "à l'infini", c'est ainsi qu'on a nommé la droite projective choisie (dite "droite à l'infini"), pour imager la situation. Pourquoi ? Car il faut savoir que deux droites projectives dans un plan projectif se coupent en un point, et qu'une droite projective est composée d'une droite affine et d'un point projectif (c'est la même histoire qu'un plan projectif composé d'un plan affine et d'une droite projective), qui, si la droite affine est située dans le plan affine considéré, est forcément situé sur la droite à l'infini (pourquoi ?). Donc comme les droites parallèles du plan affine ne se coupent pas dans le plan affine, c'est qu'elles se coupent sur la droite à l'infini (il ne reste plus que ça). Cela correspond bien à l'intuition que l'on en a avec la perspective : des droites parallèles se coupent à l'horizon sur une ligne, dite la ligne d'horizon.
    Ah j'ai été devancée ! Merci.
  • je tente un truc:


  • Julia Paule
    Modifié (20 Jan)
    @GaBuZoMeu Pour bien faire, il faudrait utiliser le jeu pour enfants qui se compose de baguettes en plastique de différentes tailles et de différentes couleurs, qu'on emboîte pour faire des constructions, pour regarder la construction que tu proposes selon différents points de vue. Cela serait immédiatement parlant (en prenant suffisamment de recul).
    En fait, je n'ai pas compris ce que tu cherches @Malgame, juste quelques clés pour initier tes élèves à la géométrie en perspective, ou bien comprendre aussi pour toi-même quelques ressorts de la géométrie projective.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (20 Jan)
    @plsryef :  Si tu t'es servi de parallèles pour tracer tes lignes en pointillé, tu as perdu.
    Pense plutôt à des parallélogrammes dans le plan affine complémentaire de la ligne d'horizon.
  • Je me suis posé la question: est-ce que $poteau_1$ et $poteau_2$ sont parallèles ? et oui j'ai utilisé des parallèles.
  • J'ai trouvé mais je ne sais pas manipuler Geogebra, et je laisse les autres chercher.
  • Oui les poteaux sont parallèles (on plante des poteaux verticalement). Mais où est la droite d'horizon du plan des poteaux ? Les parallèles dans ce plan des poteaux se coupent sur la droite d'horizon de ce plan.
  • plsryef
    Modifié (20 Jan)
    J'ai mis ce que je pense être la droite d'horizon du plan des poteaux en orange j'avais tort.
    en fait c'est la droite rouge de ce schéma:

  • Vassillia
    Modifié (20 Jan)
    La droite de l'horizon est fixée par @GaBuZoMeu tu ne peux pas la modifier, c'est la droite horizontale (qui porte bien son nom).
    Moi ce que je vois sur ton dessin, c'est que la droite du sommet des poteaux et la droite du bas de poteaux se croisent sur la droite de l'infini donc elles sont parallèles. Bonne chose, cela veut dire que tous les poteaux ont la même taille et que la droite qui passe par leur milieu se croisera donc au même endroit.
    Mais... mais... comment tu sais que l'écart entre les poteaux est le même ?
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Non, ce n'est pas la droite rouge.
  • ABCD est un parallélogramme, du fait de cette convention qui d'ailleurs rejoint (et provient) des soucis de perspective des peintres.
    Je dis à l'élève qu'il n'a rien démontré du tout. Il croyait traiter d'un quadrilatère quelconque, mais il traitant d'un parallélogramme, dont il sait depuis toujours la propriété des diagonales.

    De la même façon, le théorème "général" de Pappus, du fait de cette convention, est en réalité dans la position particulière du théorème "faible" de Pappus (avec parallèles) que l'on sait démontrer avec deux homothéties (et la commutativité). 
    Bon, dit l'élève. Quand est-ce que l'on démontre le théorème général ?

    Je dis depuis le début simplement, qu'il manque quelque chose à cette "démonstration".
    Quelque chose du style : «Cette transformation qui représente des droites parallèles grâce à un "horizon" (ou une "droite de l'infini") conserve l'alignement. C'est pourquoi le résultat de la forme "faible" est conservé dans le cas général. Par contre, elle ne conserve pas le milieu ce qui explique que dans le cas du quadrilatère, la propriété liée aux parallèles ne vaut pas dans le cas général.
  • Mal rédigé : « «Cette transformation qui représente des droites parallèles comme concourantes, grâce à un "horizon"»
    etc...
  • Vassillia
    Modifié (20 Jan)
    Ah non, c'est bien plus qu'une convention pour la moi, la définition de droites parallèles est qu'elles se coupent sur la droite de l'infini. Evidemment si l'infini est vraiment à l'infini (c'est loin) alors on ne peut pas voir l'intersection mais il y a toujours une droite de l'infini (dont je me sers systématiquement pour les calculs).
    Je le répète mais je vois le plan affine à partir du plan projectif, pas le contraire, c'est plus pratique je trouve alors j'ai viré toutes mes connaissances antécédentes en géométrie ce qui, avantage pour moi, ne faisait pas grand chose à virer, même si j'ai encore de grosses difficultés à employer le vocabulaire officiel par manque de lectures adaptées.
    Il est normal que tu rencontres plus de difficultés qu'un élève car tes connaissances sont en fait un blocage mais ça passera si tu te laisses le temps de murir l'idée.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • J'espère éclaircir les choses dans ma réponse à Vassilia. 
    Mon élève (et moi) voyons très bien le parallélogramme ! nous ne voyons que lui !

    De même, "le coup" de la droite de l'infini fait que ce qu'on voit n'est pas l'énoncé du théorème général, mais l'énoncé du théorème "faible"... en perspective. Pour conclure que l'alignement des points dans le théorème "faible" entraîne l'alignement dans le théorème général, il faut à mon avis préciser que cette "vue en perspective" conserve l'alignement.
    Et ne conserve pas le milieu, ce qui explique que malgré la droite de l'infini, les diagonales d'un quadrilatère ne se coupent pas en leur milieu s'il ne s'agit pas d'un parallélogramme.
    Pour moi, la situation est claire et je dois remercier tous les contributeurs.

  • Je dis depuis le début simplement, qu'il manque quelque chose à cette "démonstration".

    @Malgame, je me répète pour la 73e fois, mais ce qui manque dans ta compréhension de cette démonstration est la compréhension de la structure affine du complémentaire d'une droite dans le plan projectif. Les droites de ce plan affine sont les traces des droites projectives (hors celle qu'on a enlevée, bien sûr).


  • gai requin
    Modifié (20 Jan)
    Les poteaux !

  • Oui. Variante en n'utilisant que la base des poteaux (on fait de la géométrie affine dans le complémentaire de la droite d'horizon en dessinant plein de parallélogrammes).


  • Merci GaBuZoMeu.
    De mon côté, j'ai utilisé deux symétries centrales pour obtenir deux parallélogrammes superposables à celui défini par les deux poteaux qu'on a plantés.
  • Julia Paule
    Modifié (20 Jan)
    @Malgame Oui je vois ce qui te pose problème. C'est qu'on ne comprend pas qu'en changeant seulement de perspective, un coup les diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu, et un coup ce n'est plus le cas, alors que la considération de la seule perspective induit que c'est le même quadrilatère vu différemment. C'est ça ?
  • Swingmustard
    Modifié (20 Jan)
    Bonjour,
    $P3$ conjugué harmonique de $P1$ wrt $P$ et $P2$, de même que $P4$ conjugué harmonique de $P2$ wrt $P$ et $P3$, cela peut aussi se dessiner via des parallèles à $HP$ et des symétriques.
    Amicalement,
    Swingmustard
    P.S. On voit ici trois cartes affines de la droite projective passant par les "points projectifs" que sont les "droites vectorielles" $HP, HP1, HP2, HP3, HP4$. 
    Une de ces cartes est la droite des $Pi$ : contenant le point à l'infini $P$, elle n'a pas de propriétés affines.
    Parce qu'elles sont parallèles au point infini = droite vectorielle $HP$, les autres ont la propriété affine qu'un milieu ... est un milieu : celle qui passe par $P2$ a été construite pour que $d(HP1,HP2)=d(HP2,HP3)$, de même celle qui passe par $P3$ contrôle/montre que $d(HP2,HP3)=d(HP3,HP4)$
  • @GaBuZoMeu : J'ai un problème de poteaux métaphysique.
    Si ta figure (de l'énoncé) est dans un plan projectif, c'est dans le complété projectif d'un plan affine à cause du parallélisme des poteaux.
    Mézalor, si on envoie $h$ à l'infini, les poteaux ne sont plus parallèles dans le complémentaire de $h$.
    Donc ta figure serait dans le complété projectif d'un espace affine de dimension $3$ et on envoie à l'infini le plan $\mathcal P$ contenant $h$ et le point à l'infini des poteaux.
  • @gai requin :   La figure est une représentation en perspective d'une scène 3d (très sommaire). Dans cette scène il y a deux plans qui jouent un rôle : le sol avec sa ligne d'horizon et le plan des poteaux (dont la ligne d'horizon n'est pas représentée, c'est la verticale passant par le point à l'infini de la droite d'alignement des poteaux). La construction que tu as faite se passe dans le plan des poteaux, la mienne ou celle de @Swingmustard dans le plan de sol.
  • plsryef
    Modifié (20 Jan)
    @Vassillia j'ai mal utilisé la technique "parallélogramme": les cotés opposés sont de même longueur.
    J'ai trouvé un peu plus tard la ligne rouge du plan des parallélogrammes (parce-que tu m'as dit pas , au mieux je l'ai devinée), cependant en quoi diffère-t-elle de l'autre ligne rouge en pointillés ? (la droite affine en pointillées m'a l'air plus proche d'un point vue d'observateur de la figure que l'autre droite)
    Autre souci, on retient un aspect, horizontal/vertical ici, je pose la question: la ligne de fuite est-elle forcément horizontale ? le fait que les deux droites soient perpendiculaires (au sens affine euclidien tout normal dont on à l'habitude avec des droites d'un plan affine) doit intervenir quelque part ?

  • Swingmustard
    Modifié (20 Jan)
    Mille excuses @plsryef,
    mais ton actuel troisième poteau est en réalité déjà le quatrième.
    Pas grand-chose à modifier : ton vrai troisième est porté par la verticale que tu as dessinée.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • @Swingmustard j'ai appliqué la bonne macro aux mauvais points, je comprends mieux.
  • @plsryef : ton dessin a visiblement une perspective incorrecte.
    Il y a de l'implicite : les poteaux sont parallèles et ont la même hauteur. Une autre construction qui se passe dans le plan des poteaux.


  • Merci @GaBuZoMeu : Je tente le coup sur Pappus, arnaque ou pas ?
    Je reprends les notations du scan que tu as posté au début de ce fil.
    1) On envoie $(AB'\cap A'B)(AC'\cap A'C)$ à l'infini donc, dans la carte affine restante, $AB'\parallel A'B$ et $AC'\parallel A'C$.
    Si $O$ est à l'infini, c'est terminé (voir ci-dessous).
    2) Sinon, on plonge cette carte dans l'espace affine de dimension $3$.
    3) Dans le complété projectif de cet espace, j'envoie le plan $O\infty_{AB'}\infty_{AC'}$ à l'infini pour obtenir la figure plane
    4) On montre alors facilement que $BC'\parallel CB'$ donc les trois points de Pappus sont alignés sur la droite de l'infini du plan de la figure.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (21 Jan)
    @gai requin : dans tes manips, tu aurais réussi à rendre alignés trois points non alignés. Ne trouves-tu pas cela très suspect ? Le plan que tu envoies à l'infini, c'est le plan qui contient toute la figure !
  • Donc arnaque  :)
  • Avec ton arnaque, tu aurais réussi à ramener la commutativité de la multiplication à celle de l'addition. Tu sais bien que ça ne marche pas.
  • Pourquoi s’embêter avec des homothéties ? 😉
  • Je remarque qu'un même mot "perspective" est utilisé pour deux choses qui me paraissent différentes :
    1) on parle de perspective pour une projection centrale de centre $O$, disons de notre espace à 3 dimensions, sur un plan : on couche sur le papier qui a 2 dimensions une image qui en a 3 ; le centre $O$ représente l'oeil de l'observateur,
    2) on parle aussi de perspective pour le dessin sur une feuille de papier d'une image en 3 dimensions, avec des objets plus petits au fur et à mesure qu'ils sont plus loin, et une ligne d'horizon, lieu de rencontre des droites parallèles ; pour cette perspective, il n'y a pas (ou il ne me semble pas qu'il y ait) de point d'observation, et sur la première, il n'y a pas de ligne d'horizon.
    En fait, je me demande s'il y a un lien entre ces deux types de perspectives.
    Ces deux types sont illustrés ici : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/20EspTT.pdf
    Merci d'avance.
  • Bonsoir,
    Il s'agit bien de la même chose : dans les deux cas, une projection centrale de centre $O$ sur un plan $P$ ne contenant pas $O$ dans un espace affine $E$ de dimension 3. Et qu'est-ce que la ligne d'horizon ? Une ligne d'horizon est attachée à une direction $d$ de plan dans $E$, différente de la direction du plan $P$ : c'est l'intersection avec $P$ du plan de direction $d$ passant par $O$. Dans l'exercice des poteaux, on avait deux directions de plan : celle du plan du sol et celle du plan des poteaux, et deux lignes d'horizon pour ces directions de plan.
  • Comment appelle-t-on le plan engendré par ces deux lignes d’horizon en perspective ?
  • @gai requin : je ne comprends pas ta question.  Ces deux lignes d'horizon sont dans le plan $P$.
  • C’est-à-dire que la figure des poteaux, je la vois dans un espace projectif de dimension $3$ dans lequel on veut quatre poteaux équidistants une fois qu’on a envoyé un certain plan à l’infini.
  • plsryef
    Modifié (21 Jan)
    C'est marrant, ta construction @GaBuZoMeu évoque une méthode numérique pour trouver le zéro d'une fonction affine, qui n'est pas parallèle à l'axe des abscisses=la ligne d'horizon, ne te moque pas trop: je fais de la géométrie projective avec mes pieds. et avec humour je sais que tu sais résoude $ax=b$ surtout lorsque a n'est pas nul, et je dis tout ça avec humour, je précise car on est en écran interposés et c'est drôle je trouve.
  • @gai requin  : la scène 3d se passe dans un brave espace affine. C'est vrai que tu peux le compléter en un espace projectif, chaque famille de plans parallèles acquiert alors une droite à l'infini commune et la ligne d'horizon pour cette direction de plans dans le plan $P$ est la projection sur $P$ à partir du centre $O$ de cette droite à l'infini.
    @plsryef : j'ai donné deux constructions, à laquelle penses-tu ? Est-ce que la méthode à laquelle tu fais allusion est la méthode de la fausse position ?
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