Références pour des familles d'entiers

Magnéthorax

Bonjour, Je sollicite votre aide pour trouver des références sur les familles ($p$ est paramètre complexe) $\left(\alpha_{i,j}^{\left(p\right)}\right)_{i,j\in\N^*}$ définies par $$ \alpha_{i,j}^{\left(p\right)} = \begin{cases} 1 & \text{si } j = 1, \\ \alpha_{i-1,j-1}^{\left(p\right)} + j^p \alpha_{i-1,j}^{\left(p\right)} & \text{si } 1 < j \leq i, \\ 0 & \text{si } i < j. \\ \end{cases} $$ Les cas $p=1$ et $p=2$ me sont apparus dans un contexte d'algèbre linéaire (changements de base). Le cas $p=1$ conduit aux nombres de Stirling de seconde espèce, dont l'interprétation combinatoire est bien connu. Le cas $p=2$ conduit aux "coefficients binomiaux centraux", dont je ne connais pas d'interprétation combinatoire, mais dont je soupçonne qu'elle doit bien exister. Le cas général m'échappe à peu près complètement.

Math Coss

Tu as sans doute regardé l'OEIS, qui contient des références :

• pour $p=1$, on trouve OEIS A008277 ; ce sont bien les nombres de Stirling de deuxième espèce ;
  
• pour $p=2$, on trouve OEIS A036969 ; l'OEIS parle de « generalized Stirling numbers of the second kind » ;
  
• pour $p=3$, on trouve OEIS A098436 ; l'OEIS parle de « nombre de Genocchi généralisés » ;
• pour $p=4$, on ne trouve apparemment rien dans l'OEIS ; ces nombres semblent apparaître ici cependant.
  

Magnéthorax

@Math Coss : merci. J'ai dû bien mal m'y prendre.

Math Coss

NB (tu le sais certainement, ça peut intéresser quelqu'un qui passe) : les nombres de Stirling de deuxième espèce sont associés à un changement de base dans l'espace des polynômes : ce sont les coefficients de la matrice de passage de la base $\bigl((X_n)\bigr)_{n\in\N}$ où $(X_n)=X(X-1)\cdots(X-n+1)$ à la base standard $(X^n)_{n\in\N}$. Je ne sais pas si « tes » nombres sont apparus dans un contexte de ce type.