Produit de matrices dont le carré est nul

NicoLeProf

OShine a dit :

gai requin a dit :

On suppose $AB$ nilpotente d'indice $p$.
Donc $BA$ est nilpotente d'indice $q$.
Montrer que $p-1\leq q\leq p+1$.

Raisonnons par contraposée. Supposons $(BA)^{p-2}=0$.
Alors $(AB)^{p-1}= A(BA)^{p-2} B=0$ donc $(AB)^{p-1}=0$ ce qui est absurde.
Finalement, $BA$ est nilpotente d'indice $q$ est $\boxed{p-1 \leq q \leq p+1}$

Plus agréable que de raisonner par contraposée, on peut écrire $(AB)^{q+1}=A(BA)^q B=0$ car $BA$ est nilpotente d'indice $q$.
Donc $p \leq q+1$ soit $p-1 \leq q$.

OShine

@NicoLeProf
Merci je vois une analogie avec l'ordre d'un élément dans un groupe.

OShine

@lourran
Ton exercice est sur les noyaux itérés, je l'ai déjà traité et il est dans mon manuel dunod tout en un, je vais pas le refaire en entier, ça me prendrait une heure, et je n'ai pas trop le temps avec la rentrée.
Mais je ne vois pas le rapport avec la nilpotence.

zygomathique

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2514301/

quand je vois les mots contraposée et absurde en même temps ça me semble étrange ... et ça me dérange

BA est nilpotente d'indice $q < p - 1 \Longrightarrow  (BA)^q = O \Longrightarrow (BA)^{p - 2} = O \Longrightarrow A(BA)^{p - 2} B = O \Longrightarrow (AB)^{p - 1} = O$

ce qui est contradictoire avec l'hypothèse "AB est nilpotente d'indice p"

OShine

Oui il y a un problème.
Considérons l'implication logique A implique B.
Quand on raisonne par contraposée on doit montrer que NON(B) implique NON(A).

NicoLeProf

zygomathique a dit :
BA est nilpotente d'indice $q < p - 1 \Longrightarrow  (BA)^q = O \Longrightarrow (BA)^{p - 2} = O \Longrightarrow A(BA)^{p - 2} B = O \Longrightarrow (AB)^{p - 1} = O$

Je suis d'accord qu'il y a une erreur de rédaction dans ce qu'OShine a fait mais dans la tienne aussi ça ne va pas :

rédiger avec que des implications me gêne à titre purement personnel car tu peux mettre n'importe quelle proposition $P$ à gauche (mais fausse) , l'implication $P \Rightarrow Q$ sera vraie. Donc c'est la porte ouverte à des erreurs de raisonnement. Un étudiant qui rédige comme ça en contrôle n'aura pas tous les points car la rédaction doit être claire et intelligible donc écrite en français correct. Multiplier les symboles est d'ailleurs fortement déconseillé à l'agrégation et le symbole "implique" ne remplace pas un "donc".

lourrran

Si on nous demande de démontrer A implique B, une technique fréquente est de montrer Non(B) implique  Non(A).
Cette méthode s'appelle 'Démontrer la contraposée'.

Mais, OShine, quand toi, tu utilises cette méthode, tu dis 'faisons une démonstration par l'absurde'. Tu emploies donc l'expression 'Démonstration par l'absurde' mal-t-à-propos. 

Et ce que zygomathique soulignait, c'est que si on choisit de parler de démonstration par l'absurde, gardons la terminologie de A à Z ( elle est probablement inadaptée, mais tant pis). Si on choisit de parler de Contraposée, ok, et gardons la terminologie de A à Z.   
Mettre les mots absurde et Contraposée dans la même démonstration, c'est maladroit. 
Dans le message cité par Zygomathique, on pourrait remplacer le mot 'absurde' par le mot 'impossible' ... et on retombe sur nos pattes.

Les vraies démonstrations par l'absurde sont très rares.

zygomathique

merci @lourrran

@NicoLeProf : j'aimerai bien plus de clarté !!

en partant de quelque chose que je suppose vraie j'arrive à quelque chose de faux par implication logique

donc cette implication logique est fausse d'après la table de vérité de l'implication

quant à cette suite d'implications je ne pense pas qu'il y ait le moindre problème de rédaction

NicoLeProf

Oui bien sûr tu as raison, néanmoins, cette façon de rédiger un peu plus subtile est réservée à des personnes qui ont beaucoup de recul.

Après, ce n'est qu'un avis personnel ne t'inquiète pas !