Dimension d'un espace vectoriel oral Mines MP 2024

OShine

Bonsoir,
Exercice d'oral sans préparation : 
Déterminer la dimension du $\mathbf{Q}$ sous-espace vectoriel de $\C$ engendré par les racines cinquièmes de l'unité.

Je trouve l'exercice déroutant.
J'ai écrit : 
$\mathbf{U}_5 =\{1,e^{2 i \pi/5},e^{4 i \pi/5}, e^{6 i \pi /5},e^{8 i \pi /5} \}$
De plus : 
$Vect(\mathbf{U}_5)= \{ \lambda_1 +\lambda_2 e^{2 i \pi / 5}+\lambda_3 e^{4 i \pi /5}+\lambda_4 e^{6 i \pi /5}+\lambda_5 e^{8 i \pi /5} \ | \ (\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4,\lambda_5) \in \mathbf{Q}^5 \}$.
Mais ensuite je bloque.

Math Coss

La dimension est au plus $4$ : saurais-tu le démontrer, à défaut de l'avoir vu ?

OShine

Une idée me vient.
La somme des racines cinquièmes de l'unité vaut $0$ donc la famille qui engendre $\mathbf{U}_5$ n'est pas libre.

Math Coss

Bon début !
Et maintenant, saurais-tu montrer que la dimension est bien $4$ ? Indication : relier la dimension cherchée au degré d'un polynôme qui annule, disons, $\exp2\pi\mathrm i/5$.

OShine

Merci pour l'indication car sans cette dernière je n'avais aucune idée de comment partir.
On pose $\omega=e^{2i \pi / 5}$.
On a vu que $1+\omega+ \omega ^2+\omega ^3+\omega ^4=0$.
Donc : $P(\omega)=0$ si $P(X)=X^4+X^3+X^2+X+1$.
Mais je ne vois pas bien le lien avec la question.
Et je n'arrive pas à voir quand utiliser le fait qu'on est dans un $\mathbf{Q}$ espace vectoriel.

JLapin

Saurais-tu déterminer la dimension du $\C$-ev engendré par $\mathbb U_5$ ?

OShine

@gebrane
Je suis déjà en difficulté pour $n=5$...

NicoLeProf

(Interlude de haut niveau : si je comprends bien les experts du forum, $e^{2i \pi/5}$ est racine du polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ donc $e^{2i \pi/5}$ est algébrique. Or, le polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ est irréductible sur $\mathbb Q$ (facile à prouver) donc c'est le polynôme minimal de $e^{2i \pi/5}$ et le corps $\mathbb Q[X]/(X^4+X^3+X^2+X+1)$ est le corps de rupture du polynôme $X^4+X^3+X^2+X+1$ et c'est aussi l'extension simple : $\mathbb Q(e^{2i \pi/5})$. Cette extension est de degré $4$ (degré du polynôme minimal de $e^{2i \pi/5}$)  i.e : c'est la dimension du $\mathbb Q$-espace vectoriel $\mathbb Q(e^{2i \pi/5})$ qui est l'espace vectoriel de départ donné par OShine, c'est bien ça   ??? )

OShine

JLapin a dit :

Saurais-tu déterminer la dimension du $\C$-ev engendré par $\mathbb U_5$ ?

Il me semble que c'est $1$.

NicoLeProf

Je laisse les experts du forum confirmer mes dires ci-dessus.

OShine a dit :
Mais je ne vois pas bien le lien avec la question.

Maintenant, je reviens avec toi !

Tu as donc vu que le polynôme $P=X^4+X^3+X^2+X+1$ annule $\alpha:=e^{2i \pi/5}$.

Cela signifie que $\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$. Donc on a une combinaison linéaire nulle non triviale donc la famille : $\{1,\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4\}$ est liée. (Tu commences à voir le lien avec $P$ et cette histoire d'irréductibilité ici n'est-ce pas? Sinon, regarde ci-dessous )

Intéressons-nous à trouver une famille libre maximale extraite de la famille ci-dessus.
Considérons une combinaison linéaire nulle : $\lambda +\mu \alpha + \gamma \alpha^2+ \delta \alpha ^3=0$ avec $\lambda, \mu, \gamma, \delta \in \mathbb Q$ et montrons que $\lambda=\mu=\gamma=\delta=0$.

Si jamais un des scalaires est non nul, l'égalité : $\lambda +\mu \alpha + \gamma \alpha^2+ \delta \alpha ^3=0$ nous informe qu'il existe un polynôme de degré au plus $3$ (mais au moins $1$) admettant $\alpha$ comme racine (donc un diviseur de $P$ non constant à coefficients rationnels). Ce qui contredirait l'irréductibilité de $P$ dans $\mathbb Q$ (sa minimalité en fait en termes de degré).

OShine

Merci mais je n'ai pas compris pourquoi cela contredit l'irréductibilité de $P$.
Je n'ai pas compris la "minimalité".
Et pourquoi tu enlèves $\alpha^4$ ?

OShine

J'ai essayé de démontrer que $P$ est irréductible sur $\Q$ même si je ne comprends pas le lien avec l'exercice.
Je bloque sur le deuxième cas.

gai requin

1) Montre que $b=1$ puis conclus.

2) Montre par division euclidienne que si un polynôme de degré $\leq 3$ dans $\Q[X]\setminus\{0\}$ s’annule en $\omega$, alors ton $P$ n’est pas irréductible.
3) En déduire que $(1,\omega,\omega^2,\omega^3)$ est $\Q$-libre.

gai requin

@NicoLeProf : Soit $k\subset K$ une extension de corps et $\alpha\in K$.
On note $k[\alpha]=\{P(\alpha)\mid P\in k[X]\}$, c'est-à-dire le plus petit sous-anneau de $K$ contenant $k$ et $\alpha$.

On a donc un morphisme surjectif $\phi:k[X]\to k[\alpha]$, $P\mapsto P(\alpha)$ puis un isomorphisme $k[X]/\ker\phi\to k[\alpha]$.

1) Si $\ker\phi=\{0\}$, on dit que $\alpha$ est transcendant sur $k$ et on a $k[X]\simeq k[\alpha]$.

2) Sinon, il existe $\mu\in k[X]$ irréductible tel que $\ker\phi=(\mu)$.
On dit alors que $\alpha$ est algébrique sur $k$ de polynôme minimal $\mu$.
De plus, $k[X]/(\mu)\simeq k[\alpha]$ donc $k[\alpha]$ est un corps avec $k[\alpha]=\{P(\alpha)\mid P\in k[X]\wedge(\deg P<\deg\mu)\}$.
En particulier, $k[\alpha]$ est un $k$-ev de dimension $n=\deg\mu$ dont $(1,\alpha,\ldots,\alpha^{n-1})$ est une $k$-base.

OShine

gai requin a dit :

1) Montre que $b=1$ puis conclus.

2) Montre par division euclidienne que si un polynôme de degré $\leq 3$ dans $\Q[X]\setminus\{0\}$ s’annule en $\omega$, alors ton $P$ n’est pas irréductible.
3) En déduire que $(1,\omega,\omega^2,\omega^3)$ est $\Q$-libre.

Merci beaucoup.
Cela semble adapté au niveau MP car les extensions de corps ne sont pas au programme.
Je vais essayer avec ces indications.

Julia Paule

@O'Shine Pour montrer que le polynôme $P=X^4+X^3+X^2+X+1$ est irréductible sur $\mathbb Q$, il suffit de montrer qu'il est irréductible sur $\mathbb Z$ : théorème 2 de cette feuille.

$P$ n'a pas de racine dans $\mathbb Z$, car quelles sont ses racines, sachant que $P(X-1)=X^5-1$ ?

Il ne reste plus que ton dernier cas à examiner : $P=(X^2+aX \pm 1)(X^2+bX \pm 1), a, b \in \mathbb Z$.

OShine

@Julia Paule
Il n'y a pas de théorème dans ta feuille.
J'essaie de résoudre l'exercice avec les notions au programme des classes prépa MP-MPI.
Je ne vois pas de théorème dans le livre de MP qui parle du lien entre un polynôme irréductible sur $\Z$ et un polynôme irréductible sur $\Q$.

Julia Paule

??? Théorème 2. Si P est irréductible sur Z, alors soit P est une constante irréductible sur Z, soit P est primitif de degré au moins 1 et irréductible sur Q.

Mais ce théorème n'est peut-être pas au programme de MP.

OShine

@gai requin
J'ai essayé de trifouiller le système dans tous les sens et je n'arrive pas à montrer que $b=1$.
Le système n'est pas linéaire.

gai requin

On peut par exemple supposer que $\omega$ est racine de $X^2+aX+b$.

Quelle est l’autre racine ?

NicoLeProf

Merci beaucoup gai requin, c'est parfaitement clair ! D'où le lien avec l'exo d'OShine !

Je chercherai le cas général de gebrane quand j'aurai un peu de temps !

OShine

Si $\omega$ est racine de $X^2+aX+b$ alors $\bar{\omega}$ aussi car il est à coefficients dans $\R$.
Mais je ne vois pas où ça mène.

JLapin

Cela mène à une factorisation.

OShine

@JLapin
Merci.
$X^2+aX+b=(X-w)(X-\bar{w})$.
Avec $b= w \bar{w}=|w|^2=1$.
Donc $b=1$ 

OShine

1) Suite et fin.
On en déduit $b=d=1$ puis $a^2-a-1=0$.
$a$ est donc égal à $\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \notin \Q$, ce qui est absurde.
Donc $P$ est irréductible.

Etienne91

@OShine : on remarque que $X^4+X^3+X^2+X+1=\frac{X^5-1}{X-1}$. On pose $P$ ce polynôme : en l’évaluant en $X+1$, on remarque qu’il est irréductible en utilisant le critère d’Eisenstein

Etienne91

Question pour celles et ceux qui connaissent bien les concours : est-ce que le jury accepterait une solution totalement hors programme (qui utilise les extensions de corps et les résultats classiques sur les polynômes cyclotomiques) ? Ou faudrait-il tout démontrer ?

gai requin

Ben si tu supposes tout ça connu, l’exercice se résout en une ligne.

Etienne91

A la main le plus rapide alors, c’est de factoriser $X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\mathbb{R}$ et de vérifier que les coefficients des deux facteurs de degré $2$ ne sont pas rationnels.

Etienne91

En fait je ne vois pas comment résoudre cet exercice sans utiliser la notion de polynôme minimal d’un nombre algébrique

OShine

Etienne91 a dit :

En fait je ne vois pas comment résoudre cet exercice sans utiliser la notion de polynôme minimal d’un nombre algébrique

@gai requin a donné des indications pour résoudre l'exercice avec le programme de prépa.

JLT

Autre solution : posons $Y=X+1/X$ alors $P(X)=X^2(Y^2+Y-1)=X^2(Y-a)(Y-b)=(X^2-aX+1)(X^2-bX+1)$ où $a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $b=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Si $P$ n'était pas irréductible dans $\Q$ il aurait un diviseur unitaire non trivial dans $\Q[X]$. Ce diviseur serait un diviseur de $P$ dans $\R[X]$, donc égal à $X^2-aX+1$ ou $X^2-bX+1$. Impossible puisque $a,b\notin \Q$.

Etienne91

Ah oui au temps pour moi !

OShine

2) Soit un polynôme $P \in \Q[X] \backslash \{0\}$ tel que $\deg(P) \leq 3$ et $P(w)=0$. 
Montrons que $P$ n'est pas irréductible.
Je ne comprends pas bien à quoi sert la division euclidienne ici.

Si $\deg(P)=1$ alors $P$ est irréductible.
Si $\deg(P)=2$, on a $P=(X-w) Q$ avec $\deg(Q)=$ donc $P$ n'est pas irréductible.
Si $\deg(P)=3$ alors $P=(X-w) Q$ avec $\deg(Q)=2$ donc $P$ n'est pas irréductible.

OShine

Etienne91 a dit :

A la main le plus rapide alors, c’est de factoriser $X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\mathbb{R}$ et de vérifier que les coefficients des deux facteurs de degré $2$ ne sont pas rationnels.

Je ne comprends pas cette méthode.
Déjà comment factoriser un tel polynôme ?
Si les coefficients ne sont pas rationnels c'est quoi le rapport avec l'irréductibilité ?

JLapin

Tu as mal lu la question. $P$ désigne toujours le polynôme $1+X+X^2+X^3+X^4$.

Paul Broussous

OShine a dit :

Etienne91 a dit :

A la main le plus rapide alors, c’est de factoriser $X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\mathbb{R}$ et de vérifier que les coefficients des deux facteurs de degré $2$ ne sont pas rationnels.

Je ne comprends pas cette méthode.

Déjà comment factoriser un tel polynôme ?
Si les coefficients ne sont pas rationnels c'est quoi le rapport avec l'irréductibilité ?

 Notons $P=1+X+X^2 +X^3 + X^4$. On connait sa factorisation sur $\C$, donc sur $\R$ en regroupant les racines par paires de racines conjuguées. On trouve le produit de deux polynômes (unitaires) de degré $2$ à discriminant négatif.

Soit à présent $P=QR$ une décomposition de $P$ comme produit de deux polynômes unitaires de degré $2$ dans $\Q [X]$. C'en est aussi une dans $\R [X]$, donc c'est celle du dessus. Donc ...

P.S. Tout ceci est au programme de terminale + $\epsilon$ et L1.

 

JLapin

OShine a dit :

Etienne91 a dit :

A la main le plus rapide alors, c’est de factoriser $X^4+X^3+X^2+X+1$ dans $\mathbb{R}$ et de vérifier que les coefficients des deux facteurs de degré $2$ ne sont pas rationnels.

Je ne comprends pas cette méthode.
Déjà comment factoriser un tel polynôme ?

En cherchant ses racines complexes puis en les regroupant, comme dans beaucoup de situations. Tu sembles oublier très souvent que les notions de racines et de factorisation sont profondément liées.

JLT

OShine a dit :

Je ne comprends pas cette méthode.
Déjà comment factoriser un tel polynôme ?
Si les coefficients ne sont pas rationnels c'est quoi le rapport avec l'irréductibilité ?

Relire mon message précédent.

Rescassol

Bonjour,
Résoudre l'équation $P(x)=0$ quand $P$ est un polynôme symétrique (en particulier de degré $4$) en posant $x+\dfrac{1}{x}=X$ n'est il pas un grand classique ?

Cordialement,
Rescassol

OShine

@gai requin
Je n'ai pas trop compris ta question 2.
Pourquoi tu parles de division euclidienne ?

gai requin

Pour abaisser le degré d’un tel polynôme annulateur.

OShine

D'accord mais je ne vois pas par qui faire la division euclidienne.

OShine

@Paul Broussous 
Je peux m'en sortir pour le calcul de la factorisation mais je n'ai pas compris l'histoire du $P=Q R$ et du passage dans $\R[X]$.
Il ne faut pas parler de décomposition en facteurs irréductibles ?
Comment on sait que $Q$ et $R$ sont irréductibles ?

gai requin

Soit $Q$ un tel polynôme.

Il existe $R,S\in\Q[X]$ tels que $P=QS+R$ avec $\deg R<\deg Q$ et $R\neq 0$.
Or, $R(\omega)=0$ donc on peut supposer que $\deg Q=1$…

gebrane

Nico pour la cas general je fais ceci mais peut etre je me trompe et tu ne trouvera nul part ce raisonnement  gebranesque 

on cherche  la dimension du sous-espace vectoriel $ V $ engendré par les racines n-ièmes de l'unité sur le corps $ \mathbb{Q} $. Les racines n-ièmes de l'unité sont données par :

$$ \omega_k = e^{2\pi i k/n} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$

où $ \omega = e^{2\pi i/n} $ est une racine primitive n-ième de l'unité.

La racine primitive n-ième $ \omega $ est une racine du polynôme cyclotomique $ \Phi_n(X) $, . Le degré de $ \Phi_n(X) $ est donné par $ \phi(n) $, la fonction d'Euler. Par exemple :

- Pour $n = 5\quad \Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$

- Pour $n = 6\quad  \Phi_6(X) = X^2 - X + 1$

Le polynôme $ \Phi_n(X) $ est irréductible sur $ \mathbb{Q} $. Par conséquent, la dimension de $ \mathbb{Q}(\omega) $ sur $ \mathbb{Q} $ est égale à $ \phi(n) $.

Le sous-espace vectoriel $ V $ engendré par les racines n-ièmes de l'unité sur $ \mathbb{Q} $ est donc de dimension $ \phi(n) $. Cela signifie que les éléments $ 1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{\phi(n)-1} $ forment une base de ce sous-espace sauf âneries

@JLT c'est faux ?

Math Coss

Ce n'est pas faux mais cela utilise des connaissances qui ne sont pas (plus, du moins pour certaines) au programme de spé.

OShine

@gai requin
Pas compris d'où sort le $\deg(Q)=1$. C'est quoi le lien avec $R(w)=0$ ?
Ça apporte quoi d'avoir $\deg Q=1$ concernant l'irréductibilité de $P$ ?

gebrane

Donc comment on fait en respectant le niveau requis sans le dépasser, je sèche

gai requin

@OShine : Aïe !

OShine

gebrane a dit :

Donc comment on fait en respectant le niveau requis sans le dépasser, je sèche

Je suis totalement perdu  
Un massacre cet exercice.