Dérivée énième de $e^{1/x}$

Piteux_gore

Bonjour,
Quelqu'un connaît-il une façon astucieuse de calculer la dérivée énième de cette fonction ?
Je dispose déjà d'une solution, que je trouve un peu lourde.
Cordialement,

Math Coss

La reponse elle-même n'est-elle pas un peu lourde ?

gebrane

Une facon moins lourde, tu demandes à wolfram  puis tu démontres par récurrence la formule suggérée par wolfram $$(-1)^n e^{1/x} \cdot \sum _{k=0}^{n-1} k! \binom{n}{k} \binom{n-1}{k} x^{-2 n+k}$$

Alexique

DSE $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{-k}}{k!}$ à dériver $n$ fois ? Sinon, formule de Faa di Bruno !

Ericpasloggue

Un exercice qu'il m'est arrivé de donner en colle :

  Soient $n\in\mathbb{N}^{*}$ et $k\in\mathbb{N}$. On note $L(n,k)$ le nombre de Lah (I. Lah, $1896$ -- $1979$) défini par
  \begin{equation*}
    L(n,k)=
    \begin{cases}
      \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(n-k)!&\text{si $1\leqslant k\leqslant n$,}\\
      0&\text{si $k=0$ ou si $k>n$.}
    \end{cases}
  \end{equation*}

1) Montrer que
        \begin{equation*}
          L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)
        \end{equation*}
        pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ et tout $k\in\mathbb{N}$.

2) Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^{*}$ et tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, on a
        \begin{equation*}
          \frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathopen{(}e^{1/x}\mathclose{)}
          =\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}e^{1/x}\sum_{k=1}^{n}L(n,k)x^{-n-k}.
        \end{equation*}

gebrane

Bonjour Ericpasloggue Tu peux ajouter à ton devoir, démontrer la formule dans le message de gebrane 

Piteux_gore

Partant de $x^2y' + y = 0$ avec $y = e^{1/x}$, on prouve facilement la relation 
$x^2y^{(n+1)} + (2nx+1)y^{(n)} + n(n - 1)y^{(n - 1)} = 0$.

Ericpasloggue

Mon exercice est en fait directement construit à partir de l'article que tu cites.

Piteux_gore

De la relation de récurrence précédente, on tire une relation de récurrence entre polynômes 
$P_{n+1}(x) - (2nx+1)P_n(x) + n(n - 1)x^2P_{n-1}(x) = 0$, où $y^{(n)} = (-1)^nP_n(x)y/x^{2n}$.
Le terme constant de $P_n$ est forcément 1.
Comment trouver, avec le minimum d'efforts, les autres coefficients ? 

gebrane

Bonjour Ericpasloggue il semble que tu n'as pas compris le but de mon message, je voulais dire tu integres dans ta planche la question suivante démontrer que 
$$\forall n\geq 1, \frac{d^{n}}{dx^{n}}\mathopen{(}e^{1/x}\mathclose{)}           =\mathopen{(}-1\mathclose{)}^{n}e^{1/x}\sum_{k=1}^{n}  \binom{n}{k}\binom{n-1}{k-1}(n-k)!x^{-n-k}\\=(-1)^n e^{1/x} \cdot \sum _{k=0}^{n-1} k! \binom{n}{k} \binom{n-1}{k} x^{-2 n+k}$$

Ericpasloggue

J'avais bien compris ta remarque. Il faut que je vois ce que j'en fais.

Math Coss

Là c'est moi qui ne comprends plus rien... Dans l'exercice, il y a une expression de la dérivée $n$-ième en fonction ded nombres de Lah et une expression des nombres de Lahen fonction des arguments. Tu voudrais une question qui fasse faire le remplacement, @gebrane ? 

gebrane

Allons, allons, MC  qui ne comprend rien !

Deux formules, c'est toujours bien.

L'une éclaire, l'autre soutient,

Bien sûr, elles sont égales, c'est certain.

etanche

Plusieurs réponses intéressantes dans https://math.stackexchange.com/questions/18284/nth-derivative-of-e1-x

Juste pour savoir, quelles sont les applications de la dérivée n-ème de $e^{1/x}$ ?

Dans Comtet, Advanced Combinatorics exercice 7 page 158 il est question de la dérivée n-ème de $f(x^{\alpha})$ 
avec $f$ de classe $C^{\infty}$, $\alpha$ un réel. 

Piteux_gore

On pourrait fabriquer un joli problème à partir des solutions citées ici ou dans l'article de stackexchange.

etanche

$ e^{-1/x}$ sont utilisés pour les partitions de l’unité dans les variétés différentiables voir page 6
http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/G%E9o%20diff/3%20-%20Partitions.pdf

Piteux_gore

Le tome II du Ramis 1972 donne, dans les exercices du chapitre Dérivation, une méthode classique pour calculer les dérivées énièmes de $e^{1/x}, e^{x^2}, \tan^{-1} x$.

Chaurien

On trouve aussi ce calcul dans : Félix Tisserand, Recueil complémentaire d'exercices sur le calcul infinitésimal, Gauthier-Villars 1877, p. 20.
https://archive.org/details/recueilcomplme00tissuoft/page/n5/mode/2up