Défi : une série marrante mais pas facile (une semaine avant Noël) ...
Réponses
-
etanche va te sortir un lien
Ta limite est $\lim_{x \to 1^-} x\sqrt{1-x} f'(x)$ ave $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n$$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Bonjour,
Et pourquoi pas $\displaystyle {1\over \pi}$ ? -
Avec WolframAlpha on obtient :$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\right)^3 x^n=\dfrac{4}{\pi^2}K^2\left(\dfrac{1-\sqrt{1-x}}2\right)$ avec $K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{\sqrt{1-x\sin^2t}}dt$On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} \sum_{n=1}^{+\infty} n \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n=\lim_{x \to 1^-}\sqrt{1-x}f'(x)=\dfrac2{\pi^2}K(1/2)K'(1/2)=\dfrac1{\pi}$ (avec WolframAlpha)
-
De façon plus élémentaire on obtient avec $n!=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}(1+O(1/n))$ :$\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}(1+O(1/n))$ d'où $n\left(\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\right)^3 x^n=\dfrac{x^n}{\pi\sqrt{\pi n}}+O(1/n^{3/2})$Par comparaison série-intégrale on obtient $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt n}\underset{x\to 1^-}{\sim} \dfrac{\sqrt \pi}{\sqrt{1-x}}$.On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} \sum_{n=1}^{+\infty} n \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n=\dfrac1{\pi}$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 342 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres