Défi : une série marrante mais pas facile (une semaine avant Noël) ...

Area 51
Modifié (December 2024) dans Analyse
A la manière de @etanche , déterminer la limite (si elle existe) de :
$$ \lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} \sum_{n=0}^{+\infty} n \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n $$

Réponses

  • etanche va te sortir un lien :mrgreen:
    Ta limite est $\lim_{x \to 1^-} x\sqrt{1-x} f'(x)$ ave $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}  \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n$$
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Bonjour,
    Et pourquoi pas $\displaystyle {1\over \pi}$ ?
  • Avec WolframAlpha on obtient :

    $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\right)^3 x^n=\dfrac{4}{\pi^2}K^2\left(\dfrac{1-\sqrt{1-x}}2\right)$ avec $K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{1}{\sqrt{1-x\sin^2t}}dt$

    On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} \sum_{n=1}^{+\infty} n \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n=\lim_{x \to 1^-}\sqrt{1-x}f'(x)=\dfrac2{\pi^2}K(1/2)K'(1/2)=\dfrac1{\pi}$ (avec WolframAlpha)
  • De façon plus élémentaire on obtient avec $n!=n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}(1+O(1/n))$ :

    $\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}(1+O(1/n))$ d'où $n\left(\dfrac1{4^n}\dbinom{2n}{n}\right)^3 x^n=\dfrac{x^n}{\pi\sqrt{\pi n}}+O(1/n^{3/2})$

    Par comparaison série-intégrale on obtient $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{\sqrt n}\underset{x\to 1^-}{\sim} \dfrac{\sqrt \pi}{\sqrt{1-x}}$.

    On en déduit $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \sqrt{1-x} \sum_{n=1}^{+\infty} n \bigg[ \frac{1}{4^n} \binom{2n}{n} \bigg]^3 x^n=\dfrac1{\pi}$
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