Que dire de 2025 ?

Julia Paule

Ah la base 10. Je me doutais que cela allait susciter une remarque.

Cidrolin

Bravo @Julia Paule .

bisam

Bonne année 1*2+345*6-7*8+9 = 9+8*7+654*3-2*1

jelobreuil

Ah, ça, c'est joli, @bisam !

R.E.

$(\varphi^4-{\varphi^{-4}})^4$

john_john

2025 intervient aussi dans un exercice des années 70 (préparation aux Olympiades, voire Olympiades ; je n'en ai pas retrouvé la trace, mais l'ami Chaurien nous dira cela) : $x_1=5$, $x_{n+1}=\displaystyle\frac{x_n^2+1}{x_n}$ ; quelle est la partie entière de $x_{1000}$ ?

john_john

Ah non !! Sans calculette, et sans Python 

JLapin

https://imomath.com/pcpdf/f1/f41.pdf

Page 3, exo 162

john_john

Merci, JLapin : l'énoncé faisait partie de la liste restreinte en 75 mais n'a pas été retenu dans l'épreuve finale. Ceci explique cela.

Boécien

2025+2 et 2025+4  sont des premiers jumeaux. Prochaine année avec cette propriété: 2079.

zeitnot

En regardant les années précédentes vérifiant cette propriété @Boécien, je viens de m'apercevoir que les années de naissances de mes parents étaient des premiers jumeaux. Je n'avais jamais fait attention à cela.

Boécien

gerard0

Mon fils peut dire la même chose  ...

Cordialement.

Chaurien

@john_john Bonne mémoire ! C'était dans le tout premier livre en français consacré aux Olympiades mathématiques : 

Denis Gerll, Georges Girard, Les olympiades internationales de mathématique, Hachette 1976, p. 82 (réimpression Jacques Gabay 1994). 

C'était un énoncé proposé à la dix-septième Olympiade, Bulgarie 1975, mais non retenu. Ce problème a été posé plusieurs fois par la suite.

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 Soit la suite $(x_n)$ définie par $x_0=5$ et la relation de récurrence : $x_{n+1}=x_n+\frac 1{x_n}$. Démontrer que : $45<x_{1000}<45,1$.

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Dans ce petit livre bleu, certains énoncés étaient donnés sans solution. Ces solutions ont été publiées dans :

 Pierre Bornsztein, Supermath, Vuibert 1999.

john_john

Bonjour, Chaurien ! Heureux d'avoir de tes nouvelles À présent, que vient faire 2 025 dans cette galère ? Eh bien, en posant $y_n=x_n^2$, on a $y_{n+1}=y_n+2+1/y_n$ et l'on conclut en encadrant $y_{1000}$ par $2025$ et $45,1^2$. 

R.E.

Affiche par Eric Elter ( https://x.com/ElterEric/status/1875298926636757408 )

Le lien pour télécharger les images en haute résolution : https://filesender.renater.fr/?s=download&token=71c66d18-8145-4731-90fe-ab4041354c3f