Que dire de 2025 ?

Chaurien

Que dire du nombre $A=2025$, le prochain millésime ?
• Ce qui apparaît d'abord, c'est : $2025=45^2$.

• Ça me rappelle un mini-truc de calcul mental pour élever au carré un entier naturel $m$ dont l'écriture décimale se termine par le chiffre $5$. On pose $25$ unités, et si $d$ est le nombre de dizaines de $m$, alors le nombre de centaines du carré $m^2$ est $d(d+1)$. Dans le cas présent, pour avoir : $45^2$, on pose $25$ unités, et le nombre de centaines du carré est $4 \times 5=20$, d'où le résultat $2025$. Ça marche aussi pour un nombre plus grand que $100$, par exemple $115^2=13225$. 

Bon, ça ne casse pas trois pattes à un canard, mais ça peut intéresser les plus jeunes.

• Le millésime carré précédent était $44^2=1936$ (pas de commentaire...) et le suivant sera  $46^2=2116$. C'est loin...
Cube précédent : $1728=12^3$, cube suivant : $2197=13^3$. Encore plus loin.
Nombre triangulaire précédent : $2016=\frac {63 \times 64}2 $, triangulaire suivant :  $2080=\frac {64 \times 65}2 $.
Nombre premier précédent : $2017$, nombre premier suivant : $2027$. C'est bientôt.
• Décomposition en produit de facteurs premiers : $A=2025=3^4 \times 5^2$.
 Le nombre de diviseurs (positifs) de $A$ est  $\sigma_0 (A)=15$.

La somme des diviseurs (positifs) de $A$ (y compris $1$ et $A$) est :  $\sigma_1 (A)=3751$. 

Comme  $\sigma_1 (A) < 2 A$, le nombre $A$ est déficient.

Curieuse coïncidence : l'écriture du nombre $A$ dans la base $ 8$ est aussi $3751$.

• Le nombre $A= 2025$ est la somme de deux carrés d'entiers non nuls, d'une seule manière. C'est banal : on retrouve le fameux triangle rectangle $3-4-5$, convenablement dilaté.

Le nombre $A= 2025$ est la différence  de deux carrés d'entiers non nuls de $7$ manières, de $ 1013^2-1012^2$ à $51^2-24^2$, autre banalité.
Le nombre $A= 2025$ est la somme de deux nombres triangulaires, d'une seule manière.

Le nombre $A= 2025$ n'est pas la somme de deux cubes d'entiers relatifs, ni positifs ni négatifs. 

Est-il la somme de deux cubes de nombres rationnels ? Je l'ignore...

• Voici un exercice qui fait le lien avec le fil sur le Nombre d'or $\Phi =\frac {1+\sqrt 5}2$. Dans l'écriture décimale du réel $X=\Phi^{2025^{2025}}$, quel est le chiffre qui précède la virgule, et quel est le chiffre qui la suit ?

• Il y a d'autres choses à dire sur le sujet, mais j'ai déjà été trop long.

Bonne journée.

Fr. Ch.

12/12/2025

depasse

Trouver les solutions de $(x+y)^2=x.y$ où $.$ est la concaténation.

dirikly

Bonjour
$$81^3-82^3+28^3=2025$$

dirikly

$$35^3-33^3-17^3=2025$$

dirikly

$$16^3-12^3-7^3=2025$$

lourrran

Chaurien a tellement hâte d'être en 2025 qu'il a daté son message 12/12/2025.
Ca fait plaisir de voir un homme tourné vers l'avenir comme ça.

Calembour

Bonjour un peu de numérologie : 
La première fois que $2025$ apparait dans les décimales de $\pi$ c'est à la $33952$ i-ème décimale, et on a la décomposition : $2025 = 3 \times 3 \times 9 \times 5^2$

i.zitoussi

... où 9 est un nombre premier entre 3 et 5 ?

nicolas.patrois

45 est le nombre de symboles dans les codes QR qui contiennent des données alphanumériques, et c’est codé par tranches de deux caractères, sur 11 bits car 45²=2025≈2048=2¹¹.

zeitnot

Je délire .... Je me trompe de 10 ans.

Calembour

 @Chaurien nous a fait remarqué que : 
$$ (45)^2 = 2025 $$ 
Or $45  = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$ 

Donc : 

$$ 2025 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3$$

Cordialement 
Calembour

Calembour

$2025$ est le plus petit nombre avec $15$ diviseurs impairs.

Chaurien

@lourran Bien observé, j'étais tant dans $2025$ que j'ai mis une date erronée .

Philippe Malot

L'astuce des carrés des nombres entiers se terminant par $5$ fonctionne plus généralement quand on effectue le produit de deux nombres de la forme $10d+u$ et $10d+v$ avec $u$ et $v$ des nombres entiers à un chiffre dont la somme vaut $10$.
En effet,
\[(10d+u)(10d+v)=100d(d+1)+uv\]
Par exemple, pour calculer $53\times 57$, on remarque que les deux nombres ont le même nombre de dizaines et que la somme des chiffres des unités vaut $10$, on effectue $5\times 6=30$ auquel on fait suivre le produit de $3$ par $7$, ce qui donne $3021$. J'aime bien expliquer ces petites astuces à mes lycéens, et je le faisais aussi quand j'étais professeur au collège. Si on combine ça avec des nombres décimaux non entiers, cela donne des calculs très vite effectués et quand je fais ça devant les élèves, cela leur donne l'impression que je suis un calculateur prodige (ce qui n'est pas du tout le cas). Par exemple : $11,2\times 1,18=13,216$

Pour en revenir au nombre $2025$, on peut remarquer que c'est le carré du neuvième nombre triangulaire.
Le prochain nombre ayant cette propriété sera $3025$.
C'est aussi un nombre de Niven (ou nombre harshad) en base dix 10 : il est divisible par la somme de ses chiffres (2024 avait également cette propriété). Le prochain nombre ayant cette propriété sera $2028$.

lourrran

Ca reste une application de $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , $112 \times 118$, c'est $(115-3)*(115+3)$, c'est $115^2-3^2$ et $115^2 :  115^2-5^2= (115-5)(115+5)$, donc $112\times118$, c'et $110\times120 + 5^2-3^2$
C'est effectivement plus impressionnant (pour moi) quand on calcule $11,2*1,18$ que $112*118$ 

Et pour revenir à 2025... tout ce que j'ai trouvé ici a déjà été cité, sniff.

Chaurien

J'ai écrit que $2025 $ est somme de deux nombres triangulaires. Qu'un carré soit somme de deux nombres triangulaires, ce n'est pas vraiment une découverte, Pythagore le savait déjà. Si je note le $n$-ème nombre triangulaire $T_n=\frac {n(n+1)}2$, alors $n^2=T_n+T_{n-1}$, et on le voit sur le dessin. J'en avais parlé dans un article que j'avais fait dans Pour la Science sur les nombres figurés.

 Ici, $2025=45^2=T_{45}+T_{44}=1035+990$. La particularité c'est qu'ici cette décomposition est unique (sauf erreur). Ce n'est pas toujours le cas, par exemple  $1600=40^2=T_{40}+T_{39}=820+780$, mais aussi $1600=T_{50}+T_{25}=1275+325$. On peut creuser cette question...

Chaurien

Petite remarque pour @Philippe Malot. Moi je n'écris jamais  « en base $10$ », car ... toutes les bases sont $10$ ! Je précise « en base $10= 9+1$ », ou « en base $10= 2 \times 5$ », ou toute autre définition numérique, ou encore « en base dix », ou « dans le système de numération décimale », ou toute autre dénomination à votre convenance. 

Car les cardinaux de $0$ à $9$ ont le privilège d'avoir chacun une écriture particulière, les chiffres, mais bien sûr la base d'un système de numération n'en a pas dans sa base. C'est sans doute du pinaillage, mais je préfère.

LOU16

Bonjour,

Chaurien a dit :

J'ai écrit que $2025 $ est somme de deux nombres triangulaires. Qu'un carré soit somme de deux nombres triangulaires, ce n'est pas vraiment une découverte, Pythagore le savait déjà. Si je note le $n$-ème nombre triangulaire $T_n=\frac {n(n+1)}2$, alors $n^2=T_n+T_{n-1}$, et on le voit sur le dessin. J'en avais parlé dans un article que j'avais fait dans Pour la Science sur les nombres figurés.

 Ici, $2025=45^2=T_{45}+T_{44}=1035+990$. La particularité c'est qu'ici cette décomposition est unique (sauf erreur). Ce n'est pas toujours le cas, par exemple  $1600=40^2=T_{40}+T_{39}=820+780$, mais aussi $1600=T_{50}+T_{25}=1275+325$. On peut creuser cette question...

En creusant un tout petit peu:

La décomposition $n^2 =T_x+T_y $ est unique si et seulement si $\:4n^2+1$ est un nombre premier.

R.E.

J'aime bien le site Numbers Aplenty de Giovanni Resta, un chercheur italien.

https://www.numbersaplenty.com/2025

- 2025 has 15 divisors, whose sum is σ = 3751. Its totient is φ = 1080.
- It is a perfect power (a square), and thus also a powerful number.
- It can be written as a sum of positive squares in only one way, i.e., 729 + 1296 = 27^2 + 36^2.
- It is a Harshad number, Duffinian number, Curzon number, apocalyptic number, gapful number, deficient number.
- The sum of its prime factors is 22 (or 8 counting only the distinct ones).
- The product of its (nonzero) digits is 20, while the sum is 9.
- Adding to 2025 its reverse (5202), we get a palindrome (7227).

Je n'ai pas tout mis et désolé pour l'anglais et s'il y a des répétitions par rapport à ce qui a déjà été dit.

jandri

Je suis d'accord avec LOU16. 

Pour tout entier $k$ il existe des entiers $n$ tels que $n^2$ possède $k$ décompositions différentes comme somme de deux nombres triangulaires.

Chaurien

@LOU16 En effet, l'égalité $T_p+T_q=A$ équivaut à : $(2p+1)^2+(2q+1)^2=2(4A+1)$, et l'on retombe sur les résultats bien connus concernant la décomposition d'un nombre entier positif en somme de deux carrés d'entiers. C 'est ainsi que j'ai trouvé mon contre-exemple $1600$.

Chaurien

@R.E. Merci pour la référence à ce site https://www.numbersaplenty.com/, que je ne connaissais pas, et qui est très riche.

Ta citation en anglais est compréhensible même pour quelqu'un qui comme moi se débrouille avec l’anglais mathématique tout en ayant des difficultés avec l'anglais courant. Mais pour respecter le caractère francophone de ce forum, un simple passage par https://www.deepl.com/fr/translator (par exemple), nous donne  :

...........................................................................................................................................................................................................

- 2025 a 15 diviseurs, dont la somme est σ = 3751. Son total est φ = 1080.

- Il s'agit d'une puissance parfaite (un carré), et donc d'un nombre puissant.
- Il ne peut être écrit comme une somme de carrés positifs que d'une seule manière, c'est-à-dire 729 + 1296 = 27^2 + 36^2.
- C'est un nombre Harshad, un nombre Duffinien, un nombre Curzon, un nombre apocalyptique, un nombre lacunaire, un nombre déficient.
- La somme de ses facteurs premiers est 22 (ou 8 en ne comptant que les facteurs distincts).
- Le produit de ses chiffres (non nuls) est 20, tandis que la somme est 9.
- En ajoutant à 2025 son inverse (5202), on obtient un palindrome (7227).

....................................................................................................................................................................................................

Bonne journée.

Fr. Ch.

Ludwig

Soient $A(3,0)$ et $B(-3,0)$, le point $C$ est sur le cercle de centre $(0,4)$ et de rayon $1$. Lieu du centre $X_{2025}$ du triangle $ABC$ lorsque $C$ varie sur le cercle ?

Rescassol

Bonsoir,

Ce lieu ressemble à un cercle, mais ce n'en est pas tout à fait un. Son équation est:
$17x^{10}+800x^8y^2-7944x^8y+42255x^8-4322x^6y^4+95016x^6y^3-50130x^6y^2$
$-5878224x^6y+36458424x^6+2804x^4y^6-203784x^4y^5+2235123x^4y^4+22597488x^4y^3$
$-394947576x^4y^2+1348187328x^4y+4505278320x^4+21689x^2y^8-1458792x^2y^7+50537556x^2y^6$
$-1070280864x^2y^5+13573063728x^2y^4-96077798784x^2y^3+322079478336x^2y^2$
$-234271719936x^2y+36726483456x^2+13780y^{10}-1152048y^9+36077148y^8-456945408y^7$
$-622315872y^6+84659489280y^5-953722776384y^4+4277693058048y^3$
$-6159790126080y^2+3554282446848y-721966141440=0$

Cordialement,
Rescassol

philou22

@Calembour Jolie !

Ludwig

Les calculs sont tellement compliqués @Rescassol que GeoGebra ne parvient jamais à dire que le point est sur la courbe avec cette équation. Et il ne parvient pas à la tracer au voisinage de $x=0$ (et $y>0$). On en a une meilleure idée en utilisant l'outil lieu, voici ce que cela donne en zoomant sur cette zone :

Pour le reste c'est en effet très proche d'un cercle. On peut sûrement faire mieux en variant le rayon et le centre du cercle sur lequel se déplace $C$.

Rescassol

Bonsoir,

Ou encore en paramétrique:

$X=\dfrac{9(t^2-1)(1019t^8+6460t^7+10847t^6+21964t^5+19994t^4+21964t^3+10847t^2+6460t+1019)}{(11t^2+4t+11)(13t^4-20t^3+15t^2-20t+13)(157t^4+124t^3+339t^2+124t+157)} $

$Y=\dfrac{-9(2t^2+t+2)(-851t^8+896t^7-851t^6+4076t^5+226t^4+4076t^3-851t^2+896t-851)}{(11t^2+4t+11)(13t^4-20t^3+15t^2-20t+13)(157t^4+124t^3+339t^2+124t+157)}$

En faisant varier $t$ de $-1000$ à $+1000$ (commande "Courbe" de Géogébra).

Cordialement,
Rescassol

Chaurien

@LOU16 Pour être encore plus convaincant, observons que l'égalité $T_p+T_q=A$ équivaut à :

 $(p+q+1)^2+(p-q)^2=4A+1$.

Jean-Louis

Bonjour   tous et toutes.

Je reviens sur le premier post de Chaurien concernant l'élévation au carré d'un nombre finissant par cinq. Cela permet ensuite , utilisant (x+1)² = x² + 2x +1 de calculer , par exemple 76² qui est 75² + 2.75 +1 soit 5625 + 150 + 1 = 5776. Et et on peut bien sur aller plus loin avec 77²= 75² + 4.75 + 4 = 5625 + 300 + 4 = 5629....etc...

Bonne journée.

Jean-Louis.

Jean-Louis

Bonjour toutes et tous.

En fait le truc de Chaurien sur l'élévation au carré d'un nombre finissant par 5 n'est qu'un cas particulier du produit de 2 nombres de 2 chiffres dont la somme des chiffres des unités vaut 10 et le chiffre des dizaines est identique. Ainsi 48x42 = 2016 (2 premiers chiffres c'est 4 fois son suivant ou 4 au carré plus 4, et les deux derniers chiffres c'est 8 fois 2. Il faut faire attention au cas, par exemple 49x41 = 2009. ( il faut un à devant le 9, les deux  groupes de deux chiffres 20 et 09 ,ou 20 et 16 dans l'autre cas, n'interfèrent pas.)

Bonne journée à tous.

Amicalement.

Jean-Louis.

Hypocrates

2025 est un triplet pythagoricien $2025=45^2=36^2 +27^2$.

nicolas.patrois

Math Coss

On peut arranger les carrés de façon plus naturelle (mais il faut alors en couper quelques-uns) !

Cidrolin

Trouver le seul carré composé de quatre chiffres qui reste un carré quand on remplace chacun de ses chiffres par le suivant ( le suivant de 0 est 1,...,le suivant de 9 est 0).

Julia Paule

J'ai trouvé, je laisse chercher les autres.

Trouver deux petites écritures de $2025$ qui n'utilisent que des $1$ et des $2$ et les opérations usuelles.

Médiat_Suprème

$2^{11}-2^2*2^2-2^2*2+1$
$2211111-1111$

lourrran

$(1122+1-111)*2+1$  ou, avec $5$ fois chacun des chiffres $1$ et $2$ : $(1221+2-211)*2+1$

Julia Paule

Il y a une solution avec 6 chiffres, une autre avec 7 chiffres, $1$ ou $2$.

@Médiat_Suprème $2211111−1111$ ?

Médiat_Suprème

Base 3

Julia Paule

Bravo. Comment n'y ai-je pas pensé ?

Cidrolin

Avec  deux chiffres : 11, c’est en base 2024.

lourrran

121, en base 44

Julia Paule

On interdit les bases, et il faut utiliser les deux chiffres.

$(21*2+2+1)^2$

$2^{11}-1-2*11$

Cidrolin

Avec trois chiffres : $$(.\overline{1}\times .2)^{-2}$$

Julia Paule

Gagné. C'est pour l'instant celui qui utilise le moins de chiffres $1$ ou $2$ en base 10.

Chaurien

En base 10 ? Toutes les bases sont 10...

nicolas.patrois

Oui, on connaît ta fixette sur la base 10 mais traditionnellement, quand on parle de la base 10, on parle de la base décimale, comme dans le bout de code en Python qui suit : int("123",10).

dirikly

2025 est somme de quatre puissances multigrades

$$1^3+6^3+8^3+6^4=2025$$
ou plus simplement de deux ou trois puissances multigrades

$$9^3+6^4=2025$$
$$6^3+12^3+3^4=2025$$


en utilisant des puissance 2, 3 , 4 et 5 :   $$4^2+9^3+4^4+4^5=2025$$

- $2025$ et un carré parfait.
- $2025$ est la somme de deux carrées parfaits de deux façons.
- $2025$ est la somme de trois  carrées parfaits de 60 façons.
- $2025$ est la somme de quatre carrées parfaits de 1752 façons.

lourrran

Et comme $2025$ s'écrit en base dix avec des $2$, des $0$ et des $5$ : $2 \times (2^{5+5})+2 - 5^2$

depasse

Bonsoir,
Un petit up du deuxième message de ce fil initié par Chaurien:
depasse a dit :

Trouver les solutions de $(x+y)^2=x.y$ où $.$ est la concaténation.

On pourra commencer par la base dix, c'est comme ça qu'il faut dire écrire. Ben quoi, j'ai bien le droit d'être d'accord avec une fixette de @Chaurien! Sans doute la seule. Bonne année à tous, dont lui.
Cordialement
Paul

Julia Paule

Cidrolin a dit :

Trouver le seul carré composé de quatre chiffres qui reste un carré quand on remplace chacun de ses chiffres par le suivant ( le suivant de 0 est 1,...,le suivant de 9 est 0).

Personne ? Je m'y colle. Il y a peut-être plus simple.

On suppose que ces carrés sont compris entre $1000$ et $9999$.

On traite d'abord les carrés $9...$, dont le nombre augmenté $0...$ est inférieur au carré : ce sont les $9.^2$, pour $5 \leq x \leq 9$. Aucun ne donne un nombre augmenté qui soit un carré, par exemple $95^2=9025$ dont le nombre augmenté est $0136$ qui n'est pas un carré.

Pour les autres carrés, j'appelle $x^2$ ce carré et $y^2$ le carré augmenté. On a : $32 \leq x < y \leq 99$, donc $64 \leq x+y \leq 198$ et $1 \leq y-x \leq 67$.

Alors $y^2-x^2=(y-x)(y+x)=1111, 1101, 1011, 1001, 0111, 0101, 0011, 0001$. Les $0$ apparaissent dans la soustraction quand il y a une retenue  sur les chiffres immédiatement à droite, mais pas seulement.

On décompose chacun des nombres obtenus en produits de nombres respectant les bornes, et on élimine ceux ne donnant pas une solution (très peu).

$1111=101*11$ est le seul donnant une solution : $x=45, y=56$, soit $x^2=2025, y^2=3136$.

Les autres décompositions n'en donnent pas. Par exemple : 

$1111=1111*1$ ne donne pas de solution pour une raison de bornes : $x+y=1111 > 198$.

$0101=101*1$ donne $x=50, y=51, x^2=2500, y^2=2601$, c'est un cas où un $0$ apparait dans la soustraction sans correspondre à une retenue.

$0111=3*37$ : $x+y=37 < 64$.