Suite positive

Hypocrates

Si $\sum_n a_n^k e^{-|a_n | t} \geq 0$ $\forall k, \forall t>0$, alors est-ce que $a_n \geq 0$ $\forall n$ ?

JLapin

J'ai lu trop vite. Je n'ai pas de réponse immédiate.

marco

Si $a_0=-1$, $a_1=1$ et $a_n=0$ pour tout $n \geq 2$, la somme est égale à $(-1)^ke^{-t}+e^{-t}+0$ pour tout $k\in \N^*$ et tout $t>0$, donc la somme est $\geq 0$.

marco

On peut aussi choisir $a_{2n}=n$ et $a_{2n+1}=-n$ pour tout $n \in \N$. Alors la somme vaut $\sum_n ((-1)^k+1)n^k e^{-nt} \geq 0$ pour tout $t>0$ et $k \in \N$.

gebrane

 Encore un tour de magie de marco, 

etanche

@ hypocrate c’est quoi le bon énoncé ? merci. 

Hypocrates

Le série peut s'exprimer comme une transformée de Laplace d'une mesure. On applique le théorème de Bernstein pour montrer que la mesure est positive.