Intégrale et inégalité

L2M

Une idée pour cet exercice :

Soient $(X, \mathcal{T}, \mu)$ un espace mesuré et $f, g$ deux fonctions mesurables positives de $X$ dans $\mathbb{R}_+$ telles que $fg \geq 1$. Montrer que

\[\int_X f \, d\mu \int_X g \, d\mu \geq \mu(X)^2.\]

gebrane

$\int_X f \, d\mu \int_X g \, d\mu = \int_X \int_X f(x) g(y) \, \mu(dx) \mu(dy)$
edit Non ca marche po

Bibix

C'est faux pour $X = ]0,1[$, $f(x) = x^{\alpha}$, $g(x) = x^{-\alpha}$ avec $0 < \alpha < 1$

john_john

ça n'a pas l'air de coller : si $f$ est la constante $1/2$ sur $[-1,0]$ et la constante $2$ sur $[0,1]$ et si $g=1/f$, on a $\int f\times\int g=25/4>(\int1)^2$.

Math Coss

L'inégalité de Cauchy-Schwarz ne donne-t-elle pas même l'inégalité dans l'autre sens, dans le cas où $fg=1$ ? (On l'applique à $\sqrt{f}$ et $\sqrt{g}$.)

L2M

Désolé, c'est $fg \geq 1$ et $\int_X f \, d\mu \int_X g \, d\mu \geq \mu(X)^2$.

gebrane

Cette fois ci c'est CS ( $\sqrt f \sqrt g\geq 1$)

L2M

J'abondonne, on doit corriger l'exercice avant de corriger l'exercice.

JLapin

Pourquoi tu abandonnes ? Une excellente indication a été donnée juste au dessus de ton message.

L2M

Ah bon, CS pour Cauchy Schwartz. Merci.