Fonction convexe sur $\R^{+}$ qui tend vers $0$ en plus l'infini

OShine

Bonsoir,

Je n'arrive pas à trouver d'exemple ou de dessin correspondant aux questions 1 et 2 de l'exercice 12.14.
Je ne vois pas comment une fonction convexe pourrait tendre vers $0$ en l'infini.

JLapin

$f(x) = e^{-x}$ est convexe et tend vers $0$ en $+\infty$.

$f(x) = e^{-x}+3x-5$ est convexe et possède une droite asymptote en $+\infty$.

OShine

Merci beaucoup.
Je vois que la fonction $x \mapsto \exp(-x)$ est très utile lorsqu'on cherche des exemples sur la convexité.

lourrran

On a les fonctions de type $y=x^2$ : 2 branches paraboliques, les fonctions comme $y = \sqrt{x^2+1}$ : 2 asymptotes obliques. A partir de cette fonction, on peut créer $y=\sqrt{x^2+1}-x$ : une asymptote oblique et une asymptote horizontale.
Les fonctions $y=e^x$ ou $y=e^{-x}$ ont l'avantage de proposer une branche 'parabolique' et une asymptote. C'est le couteau suisse, on a tous les accessoires avec un seul outil.
L'asymptote est horizontale, mais on construit facilement une asymptote oblique, en faisant par exemple $y=e^x+x$