Fonction convexe sur un intervalle bornée

OShine

Bonjour,

Je viens de voir un exercice qui dit que toute fonction convexe sur un intervalle borné est minorée.
Ma question est : que se passe t-il si $I$ n'est pas bornée ? 
Je ne trouve pas de contre exemple.
La fonction exp est convexe sur $\R$ mais minorée.

Etienne91

dans ce cas c'est faux : par exemple $f : x \mapsto -\ln(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$

OShine

J'ai trouvé finalement. Si vous avez d'autres contre-exemples, je suis preneur.
$f : x \mapsto -x+ \exp(-x)$.
Elle est convexe comme somme de 2 fonctions convexes.
Elle est de limite $-\infty$ en $+\infty$ donc elle n'est pas minorée.

OShine

Etienne91 a dit :

dans ce cas c'est faux : par exemple $f : x \mapsto -\ln(x)$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$

Bien vu, ton exemple est beaucoup plus simple que le mien !
Merci.

Zebilamouche

pourquoi ne pas juste prendre l'identité ?

lourrran

$x+exp(x)$ ... ressemble beaucoup à la fonction que tu proposes ($-x+exp(-x)$), mais moi, je préfère les additions, pas les soustractions.
A méditer.

OShine

Zebilamouche a dit :

pourquoi ne pas juste prendre l'identité ?

Tu as raison.

OShine

@lourrran
En effet, finalement il y a plein de contre-exemples.

lourrran

J'ai pensé à l'identité après coup, et ça m'a fait vraiment penser aux tests de personnalité qu'on peut voir dans les magazines féminins (désolé du cliché).
Question : proposez une fonction convexe sur R, non minorée.
... on a évidemment plein de réponses possibles.
- $f(x)= -x+e^{-x}$ : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué.
- $f(x) = -ln(x)$ ou $f(x) = x+e^x$ : pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple.
- $f(x)=x$ : la réponse canonique !

Bbidule

A noter: toute fonction affine est convexe et concave sur $\R$ (utile pour produire des exemples ou contre-exemples).

OShine

Oui en effet.