Limite d'une intégrale

michal

Bonjour, 

On se donne une fonction continue $f : (\mathbb{R}_+)^2 \rightarrow \mathbb{C}$ bornée, qui vérifie : $$\forall t\in \mathbb{R}_+,\ \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x,\, t)=0$$

On pose : $$\forall x>0,\quad A(x)=\frac{1}{x^2}\int_{0}^{x} (x-t)f(x,\, t)dt$$

Peut-on affirmer que $\lim_{x\rightarrow +\infty} A(x)=0$ ? 

J'ai tenté le changement de variable $u=t/x$ ce qui donne : $$A(x)=\int_{0}^{1} (1-u)f(x,\, xu)du$$

Et là, on tombe sur un os parce qu'a priori, on ne sait pas ce qu'il se passe avec $f(x,\, xu)$ quand $x\rightarrow +\infty$...

Merci d'avance, 
Michal

Fin de partie

Ce n'est pas mieux le changement de variable $u(t)=x-t$?

Bibix

Bonjour,

Pour $f(x,t) = \frac{t}{x}$ si $0 < t \leq x$ (avec un raccordement du genre $f(x,t) = \frac{x}{t}$ si $0 < x \leq t$ pour que $f$ soit continue et bornée), on obtient $A(x) = \int_0^1 (1-u)u du > 0$.