Bases d'un espace vectoriel

Hypocrates

Sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu, existe-t-il un espace vectoriel de cardinalité la puissance du continu et ayant deux bases de cardinalités différentes ?

Heuristique

Bonjour,

Le fait que toutes les bases d'un ev ont même cardinal ne dépend (je pense) pas de l'axiome du choix.

Seule l'existence de base en dépend.

Foys

Sans l'axiome du choix la notion de cardinal d'un ensemble pose déjà problème (on peut prendre le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans l'ensemble considéré; appelé aussi "ordinal de Hartogs" ou encore "cardinal de Hartogs" -car il s'agit d'un cardinal- mais cette notion ne rend pas les mêmes services).

Georges Abitbol

Voir les réponses ici et là. Personne ne semble avoir de réponse sans choix. Résumé des réponses : pour comparer les deux bases, il suffit de comparer le cardinal d’un ensemble et le cardinal de l’ensemble de ses parties finies. Et ça a le même cardinal sous l’axiome du choix.

raoul.S

Sans parler de cardinal on peut dire qu'il existe toujours une bijection entre deux bases. Mais effectivement je n'ai jamais vu de preuve de cette affirmation qui n'utilise pas l'axiome du choix.