géométrie hyperbolique

stfj

Bonjour

Soit $\omega\doteq \{z\in \mathbb C: |z|=1\}$, et $U=(u_1,u_2),V=(v_1,v_2)\in\Omega\doteq \{z\in \mathbb C: |z|<1\}$

On demande de prouver qu'il existe un unique cercle passant par $U$ et $V$ et orthogonal à $\omega$, donné par $$x² + y² +\dfrac{(u_{2} (v_{1}² + v_{2}²) - v_{2}(u_{1}² + u_{2}²) + u_{2} - v_{2})}{  u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}} x + \dfrac{v_{1} (u_{1}² + u_{2}²) - u_{1} (v_{1}² + v_{2}²) + v_{1} - u_{1}}{  u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}} y + 1 = 0$$ 

https://www.geogebra.org/classic/cjamfxv9

J'ai trouvé l'équation balancée sans justification dans un article wikipédia et je me demandais si on pouvait l'insérer dans une vision avec un minimum de hauteur pour qu'elle prenne éventuellement du sens.

Je crois que le fait que l'équation soit du type $x^2+y^2+ax+by+1=0$ assure qu'on obtient bien un cercle orthogonal à $x^2+y^2+0x+0y-1=0$

Cordialement

Remarque : pour expérimenter la géométrie hyperbolique, j'ai trouvé ceci.

stfj

$\begin{cases} u_1a+u_2b=-(1+u_1^2+u_2^2)\\ v_1a+v_2b=-(1+v_1^2+v_2^2)\end{cases}$

traduit le fait que $U,V $ appartiennent au cercle cherché. On sait résoudre un tel système, ce qui fournit la solution balancée par wp.

Vassillia

Bonjour @stfj une autre idée, refaire un tour dans l'espace des cercles.

1) Écrire le vecteur $horz$ correspondant au cercle de centre $O$ et de rayon $1$

2) Calculer le vecteur $cer_U$ correspondant au cercle-point $U$ (on se rappelle que c'est $Q^{-1} ver(U)$ où $ver$ est le veronese)

3) Pareil pour $cer_V$

4) Calculer le cercle radical à $horz$, $cer_U$ et $cer_V$ qui est donc forcément orthogonal à $horz$ mais aussi à des cercles-points (autrement dit il passe par ces points)

PS : On pourra le faire dans les coordonnées inclusives spéciales bretons et bretonnes car c'est plus sympa que les coordonnées cartésiennes augmentées.

pldx1

Bonjour.

Etant orthogonal au cercle horizon, le cercle cherché est invariant dans une inversion par rapport à l'horizon. Il s'agit donc du cercle $(A,B,\widehat A)$.

Pour ce qui est des bibliothèques "geogebra hyperbolique", la difficulté principale est la gestion des cas particuliers. Par exemple comment faire lorsque $A$ est à l'horizon (cas où $\widehat A = A$).

Cordialement, Pierre.

stfj

En reprenant les notations $U=(u_1,u_2),V=(v_1,v_2)\in\Omega\doteq \{z\in \mathbb C: |z|<1\}$, comment calcule-t-on concrètement $$d(U,V)=?$$

Je lis qu'elle est définie comme $$d(U,V)\doteq |log (X,Y;U,V)|$$

https://www.geogebra.org/classic/cjamfxv9

stfj

Voici une video math-gpt générée par la question : "définis-moi les transformations de Möbius" : https://math-gpt.org/?video_id=12e8e91f-c732-4275-ae7f-4729e49dd9a6

Probablement pas de quoi rendre inutiles les explications d'Etienne Ghys ...

stfj

Bonjour

En tentant de suivre la méthode que tu proposes, @Vassillia , voici ce que j'obtiens

________________________

$$\left(-{\left(v_{1}^{2} + v_{2}^{2}\right)} u_{2} + {\left(u_{1}^{2} + u_{2}^{2}\right)} v_{2} - u_{2} + v_{2},\,{\left(v_{1}^{2} + v_{2}^{2}\right)} u_{1} - {\left(u_{1}^{2} + u_{2}^{2}\right)} v_{1} + u_{1} - v_{1},\,u_{2} v_{1} - u_{1} v_{2},\,u_{2} v_{1} - u_{1} v_{2}\right)$$

___________________________

Voici le programme sagemath

______________________

def norm(P):
    return P/(Linf*P)
  
def ver(P) :
    return vector([P[0]*(Linf*P),P[1]*(Linf*P),P[2]*(Linf*P),P[0]^2+P[1]^2])
def wedge3(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose( matrix([vec1,vec2,vec3]) )
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])
def cerclepoint(centre):
    return invQ*ver(norm(centre))  
 


def wedge3(vec1,vec2,vec3):
    mat=transpose( matrix([vec1,vec2,vec3]) )
    c1=det(mat[(1,2,3),:])
    c2=-det(mat[(0,2,3),:])
    c3=det(mat[(0,1,3),:])
    c4=-det(mat[(0,1,2),:])
    return vector([c1,c2,c3,c4])

var('u1 u2 v1 v2')
Q=matrix([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,0,-2],[0,0,-2,0]])
invQ=Q^-1
Linf=vector([0,0,1])
horz=vector([0,0,-1,1])
U=vector([u1,u2,1])
V=vector([v1,v2,1])
cerU=cerclepoint(U)
cerV=cerclepoint(V)
cerRadical=2*Q^-1*wedge3(horz,cerU,cerV)
print (latex(cerRadical))

matheuse_dynamique

Pour démontrer l'existence, il est confortable d'envoyer la figure via l'inverse $h$ de l'application $z\to \frac{z-i}{z+i}$ vers le demi plan supérieur de C. Alors, la médiatrice de l'image $h(U)$ de U et de l'image $h(V)$ de V coupe l'axe horizontal en un unique point I. On trace le demi cercle centré en ce point I et passant par les points $h(U)$ et $h(V)$. Il est orthogonal au bord horizontal. Maintenant on revient en arrière via l'application conforme $z\to \frac{z-i}{z+i}$. L'image du demi cercle est un arc de cercle qui est encore orthogonal au bord (par conformité) et passe par U et V.

Ca ne donne pas immédiatement l'équation, mais on peut la trouver ainsi aussi

jelobreuil

@matheuse_dynamique

Eh bien, voilà, ça, c'est une contribution mathématique ! Et tout à fait pertinente !

Bien cordialement, Jean-Louis B.

matheuse_dynamique

 

Eh bien, voilà, ça, c'est une contribution mathématique ! Et tout à fait pertinente !

Bien cordialement, Jean-Louis B.

Gardez vos commentaires, j'en ai fait d'autres,  mais vous ne guettez que mes posts maths&société... Par ailleurs j'ai passé l'âge d'attendre des bons points de la maitresse

jelobreuil

Oui effectivement, vous avez, sauf erreur, sur 107 réponses enregistrées, une dizaine de réponses (succinctes) de caractère mathématique, dont six datées du 7 octobre et les autres de ces derniers jours, y compris aujourd'hui ... et 4 discussions, sur 22, en géométrie, qui n'ont pas eu beaucoup d'écho ...

Et sachez que moi aussi, j'ai passé l'âge de distribuer des bons points. 

matheuse_dynamique

jelobreuil a dit :

Oui effectivement, vous avez, sauf erreur, sur 107 réponses enregistrées, une dizaine de réponses (succinctes) de caractère mathématique, dont six datées du 7 octobre et les autres de ces derniers jours, y compris aujourd'hui ... et 4 discussions, sur 22, en géométrie, qui n'ont pas eu beaucoup d'écho ...

Et sachez que moi aussi, j'ai passé l'âge de distribuer des bons points. 

C'est bien, bientôt au vu de mes pics d'activité vous pourrez suivre les pannes de train SNCF et l'épidémie de grippe ... 

jelobreuil

Si ça peut vous faire plaisir d'avoir le dernier mot, je vous le laisse ...

PS Stéphane, désolé pour le hors-sujet, je te prie de m'excuser.