Espérance conditionelle

posix968

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles. Je trouve souvent dans la littérature ou dans les cours que je lis ce passage :

$\mathbb{E}[X|Y] = \int_{\mathbb{R}} \mathbb{E}[X | Y = s ] f(s) ds $ avec $f$ la densité de $Y$.

Je comprend qu'on puisse obtenir ce type d'expression car $\mathbb{E}[X|Y]$ est une transformation mesurable de $Y$, mais le fait que cette transformation mesurable soit appelé : $\mathbb{E}[X | Y = . ]$ parce qu'on conditionne à un évènement de probabilité 0. Et ce n'est pas uniquement une notation parce que c'est parfois utilisé pour (dans le cas où $X$ dépend de $Y$) remplacer $Y$ par $s$.

J'aimerais donc comprendre ce qu'il se cache derrière cette notation. Les références que je consulte n'en parle jamais.

P.2

conditionNelle, miserable!

Ta formule est incomprehensible car $E(X|Y)=g(Y)$ est une fonction de $Y.$ Il est souvent commode d'ecrire $E(X|Y=y)=g(y)$ pour faire les calculs, et d'ecrire ce qui ressemble a ta formule  $$E(X)=\int_{\R}E(X|Y=y)\mu_{Y}(dy)$$ quand $\mu_Y$ est la loi de $Y$ (on dit 'marginale' mais enfin, la loi marginale n'est autre que la loi. On devrait dire la loi marginale de $(X,Y$) pour $Y$. Tu vois, plein de petites imperfections  dans le langage  en probabilites, qui sont bien utiles).