Théorème diophantien de Furstenberg

Zebilamouche

Bonsoir bonsoir,

Je me penche actuellement sur le théorème de furstenberg à travers le sujet ci-joint. Seule la partie B est importante pour la preuve. Ça fait une semaine que j’ai terminé le sujet sauf une question la 18.c qui traite la fin de la démonstration (c’est frustrant) et pour laquelle je me résous à demander de l’aide.

$S_{p,q}$ est un sous semi groupe multiplicatif engendré par p et q tel qu il soit non lacunaire (voir l’énoncé).

Si quelqu'un a la foi de regarder ça je lui en serai très reconnaissant merci 

Namiswan

Salut,

Avec le $z$ de l'énoncé et par la définition des $Z_j^k$, tu peux vérifier que $e^{\frac{2ik\pi}{t}} z\in Z$ pour tout $k\in \{0,\ldots,t-1\}$ ( et donc même en fait pour tout $k\in\Z$). Tu peux vérifier ensuite que l'ensemble des $e^{\frac{2ik\pi}{t}}z$ quand $k$ varie forment un $2\pi/t$ réseau du cercle (un dessin peut aider).

Zebilamouche

Aah j'ai mal compris les ensembles c'est une chaine de parties merci (pour ta deuxième phrase j'aime bien appliquer l'inégalité des accroissements finis pour me sentir analyste)

Zebilamouche

As-tu besoin de 17) pour conclure ?

Namiswan

La 17, je pense que c'est dans 18 b) qu'on s'en sert (pour montrer que que $Z_j^t$ est infini si $Z_{j-1}^t$ l'est). 

Zebilamouche

Parfait merci pour ton aide sur le sujet (d'ailleurs avais-tu déjà étudié le théorème ? )

Namiswan

Pas de problème. En effet j'ai étudié ce théorème par le passé et même écrit une note dessus.  

Zebilamouche

C'est trop bien d'avoir accès à des gens comme toi grâce à ce forum.

Aurais-tu une démonstration propre du $15$ ? J'ai repris la mienne et il y'a un point pas clair : j'ai remarqué qu'avec $\epsilon$ fixé en appliquant l'hypothèse $1$ est pt d'accumulation j'étais obligé de prendre $y$ dépendant de $\epsilon$ et la suite $(s_k)$ (notamment d'un rang $N$ tel que $s_{N+1}/s_{N} \le 1+\epsilon)$ ce qui est invalide

Namiswan

Voici une heuristique:

Soit $a$ dans $U$. Soit $z_n$ dans $Z$ qui tend vers $1$.  Pour $n$ grand, soit $k_n\in S_{p,q}$ le premier entier tel que $a$ soit dans l'arc entre $z_n^{k_n}$ et $z_n^{k_{n+1}}$ (de nouveau, un dessin peut aider). Alors on vérifie que $k_n$ tend vers l'infini et que $z_n^{k_n}$ tend vers $a$.

C'est à formaliser proprement (je raisonne alors plutôt sur les arguments)

Zebilamouche

Pourrais-tu définir $(k_n)$ par récurrence stp ?

Namiswan

Pardon, c'est mal défini en effet, c'est pas $k_{n+1}$ mais l'élément suivant $k_n$ dans $S_{p,q}$...

Plus formellement, du coup: si $a=e^{i\theta}$, $\theta\in[0,2\pi]$, $z_n=e^{i \theta_n}$ avec $\theta_n\to 0$, en supposant $\theta_n>0$ (à adapter si $\theta_n<0$), je définis $k_n$ comme le plus grand entier de $S_{p,q}$ tel que $k_n\theta_n <\theta$.

Zebilamouche

Ok je suis d accord avec tout ça mais mon problème c est qu on travaille modulo$ 2\pi$ et donc que$\theta_n$ peut tendrevers 0 en prenant aussi bien des valeurs proches de 0 que de $2\pi$alors même que la bonne définition de $k_n$ vient de ce qu en valeur absolue la suite est aussi petite qu on veut.

Zebilamouche

Il me semble que c'est clair en fait : si $\theta_n$ est proche de $2\pi$ $\theta_n -2\pi$ est proche de $0$ par valeurs inférieures : on considère cette fois $k_n$ maximal tel que $k_n\theta_n >\theta -2\pi $