$x^y = \exp(y\,\ln\,x)$

denise chemla

Bonjour,

Je cherche à avoir une explication concernant des résultats de programmation : je pensais qu'on devait obtenir le même résultat en calculant $x^{a+ib}$ et ${\rm exp}((a+ib){\rm ln}(x))$ (modifié après avoir compris mes erreurs, ça ne sert à rien de laisser un résultat erroné si visible, merci aux personnes qui ont répondu, voir ci-dessous) ; les résultats "se ressemblent" (sic !) pour 3 et 9 mais pas pour 6. Il est possible que ces résultats différents soient dus au fait que peu d'applications nécessitent d'utiliser des nombres complexes en python (peut-être, je ne sais pas), ou à des difficultés à fournir des calculs précis par des logiciels gratuits (du domaine libre) ; ce qui est curieux, c'est que Scilab et python fournissent exactement les mêmes réponses. 

Si quelqu'un dispose d'un logiciel fiable pour me dire, ou plus vraisemblablement pour m'indiquer où je me trompe, comme d'habitude, j'en serai ravie.

Je joins le source python, le résultat et un extrait en scilab pour windows.

Cordialement,

Denise Chemla

denise chemla

Au temps pour moi, je m'étais complètement plantée dans les formules "autres". En pj, la correction des deux fichiers.

Bonne soirée !

Denise Vella-Chemla

bisam

Tu as sans doute mal écrit ta question parce qu'il n'y a aucune raison que les deux nombres que tu as écrits soient égaux... Le second a même de fortes chances de ne pas exister dans bien des cas.

Je pense que tu voulais comparer $x^{a+ib}$ et $\exp((a+ib)\times \ln(x))$ comme tu l'as mis dans ton titre... et je suppose également que tu te limites au cas où $a$ et $b$ sont des réels et $x$ un réel strictement positif, afin que ta question ait un sens.

Par conséquent, tes fichiers sont remplis de calculs... mais ces calculs n'avaient aucune raison de donner le même résultat.

bisam

Par ailleurs, je ne l'ai pas précisé parce que j'imagine que tu le sais : même si les deux nombres $a^{bc}$ et $(a^b)^c$ existent tous les deux, ils ne sont pas toujours égaux.
Essaie par exemple avec $a=i$, $b=4$ et $c=\frac12$.

gebrane

La formule de Moivre permet de calculer une puissance entière d'un complexe $$(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$$
Je n'ai jamais vu quelqu'un qui l'applique en dehors des entiers sauf toi 

denise chemla

Oui, bisam, même sans aller chercher $i$, avec simplement $a=e, b=3$ et $c=5$, $(e^3)^5\ne e^{(3^5)}$.

Cordialement.

gebrane

Rien à voir avec ce qu'a dit bisam; il a dit qu'en général $$a^{bc}\neq( a^b)^c$$

denise chemla

Ah oui. Dans l'article exponentiation est noté "Lorsque la base est un réel strictement positif : $( a^b )^c = a^{b c}$ ", le $e^{3\times5}$ était sous-entendu avant le $(e^3)^5$ et je n'ai pas l'impression que ça n'ait rien à voir mais si vous le dites.

gerard0

Bonjour.

Pour éclaircir le concept :

Au départ, on a le concept de puissance entière d'un nombre :  pour l'entier n>1 on appelle $a^n$ le produit de n termes égaux à a. Cela s'applique à des a réels, complexes, voire même à des éléments d'un monoïde associatif ($f^4 = f\circ f\circ f\circ f$). On étend à n=1 avec $a^1=a$.

Quand on veut étendre les valeurs de $n$, ça se gâte ! Déjà pour $n=0$, il faut trouver pourquoi $a^0=1$ est la bonne idée. Mais pour $n$ entier négatif, il faut imposer $a\neq 0$. On a perdu la généralité.

Ensuite, on veut étendre à des puissances quelconques. Par exemple la puissance $\frac 1 2$. Pour les réels positifs, on voit que $a^{\frac 1 2}=\sqrt a$ convient. Mais quid des réels négatifs ? et des complexes ? En fait, on peut bâtir une théorie des puissances fractionnaires, mais  elle devient vite artificielle, et on commence à perdre les règles habituelles de calcul des puissances.

Une autre voie est de se contenter des puissances de réels strictement positifs, avec $a^b=e^{b\ln a}$. Là on conserve toutes les règles habituelles. On peut même généraliser à b complexe, mais on perd la règle $(a^b)^c =a^{bc}$, comme c'est montré dans un message précédent.

Ces deux généralisations ne coïncident que sur leur domaine commun (a>0).

Deux dernières remarques : 

* La loi ^ n'est pas associative, $(a^b)^c$ et $a^{b^c}$ sont généralement différents, même pour les puissances entières positives.

* Pour comprendre ce que font tes logiciels, il faut savoir comment ils traitent les exponentiations. Savoir comment ils ont été programmés.

Cordialement.

denise chemla

Bonjour et merci beaucoup, gerard0, pour la réponse circonstanciée.

En fait, je me disais qu'il s'agissait d'une autre manière de voir les choses : par ces tentatives de comprendre, je suis tombée sur le fait qu'il suffisait pour calculer les carrés et les cubes d'utiliser une base, un peu comme quand on calcule en base truc : j'utilisais le seul nombre exp(1/2) et en l'élevant aux différents exposants les log des entiers successifs, j'obtenais leur racine carrée. De même, si on prend exp(1/3) comme base, on aura les racines cubiques ; si on prend exp(2) comme base, on obtient les carrés et exp(3) comme base, on obtient les cubes. Je trouve que c'est une manière marrante de voir l'élévation au carré par exemple : on a pour habitude de la présenter comme le fait d'associer à un nombre son carré (et c'est bien sûr le plus naturel et simple) mais si on particularise exp(2), c'est en quelque sorte lui qui, par élévation à la puissance log d'un nombre lui fournit son carré. Je ne sais pas si je réussis à faire comprendre ce que j'ai eu en tête.

Merci en tout cas et bonne journée.

Math Coss

La définition $a^b=\mathrm{e}^{b\log a}$ s'applique, pour $a$ et $b$ complexes, plus largement que chez les réels strictement positifs mais elle demande plus de soin. Le problème n'est pas dans l'exponentielle mais dans le logarithme : pour $a=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r\in\R^{+*}$ et $\theta\in\R$, tous les nombres de la forme $\ln r+\mathrm{i}(\theta+2\pi k)$ avec $k\in\Z$ méritent le nom de logarithmes de $a$ (leur exponentielle vaut $a$) ; par suite tous les $q^k\mathrm{e}^{b(\ln r+\mathrm{i}\theta)}$, avec $q=\mathrm{e}^{2\pi b\mathrm{i}}$ méritent d'être appelés « $a^b$ ». En général, $q$ ne vaut pas $1$.

Une façon de faire un choix cohérent entre les différentes déterminations du logarithme consiste à relier $0$ à l'infini par un chemin simple (qui ne se recoupe pas), typiquement une demi-droite, et à travailler dans le complémentaire de ce chemin. Dès que l'on choisit un logarithme pour un complexe d'un tel domaine, on peut en déduire un choix « cohérent » (continu et même holomorphe) des logarithmes pour tous les autres points du domaine.

denise chemla

J'avais pris $a$ réel. Je n'ai pas compris ce que vous avez écrit mais merci quand même !

samok

Hors sujet mais je ne me suis jamais remis de cela :

-> Quel est le nombre obtenu lorsqu'on demande gentiment à un tableur de calculer "=-1^2"   ($\,-1^2$)?

JLapin

samok a dit :

Hors sujet mais je ne me suis jamais remis de cela :

-> Quel est le nombre obtenu lorsqu'on demande gentiment à un tableur de calculer "=-1^2"   ($\,-1^2$)?

C'est très étrange effectivement. Par contre, $=-1*1$ renvoie la réponse attendue