Alignement de points de Nagel

Bonjour,
Un exercice inspiré du fil voisin sur le théorème de Larossa Canestro.
1 - $ABCD$ est un carré,
2 - $E$ est un point sur $[AB]$,
3 - $N_1, N_2, N_3$ sont respectivement les points de Nagel des triangles $EAD, EDC, EBC.$
Question : Montrer que $N_1, N_2, N_3$ sont alignés.

Réponses

  • Bonsoir,

    Il suffit de rajouter ceci à la suite de mon code du fil voisin:
    % Points de Nagel
    
    u1=-DA+DE+AE; v1=DA-DE+AE; w1=DA+DE-AE; 
    n1=Factor((u1*e+v1*a+w1*d)/(u1+v1+w1)); n1B=Factor((u1*eB+v1*aB+w1*dB)/(u1+v1+w1));
    u2=-CE+CD+DE; v2=CE-CD+DE; w2=CE+CD-DE; 
    n2=Factor((u2*d+v2*e+w2*c)/(u2+v2+w2)); n2B=Factor((u2*dB+v2*eB+w2*cB)/(u2+v2+w2));
    u3=-BE+CE+BC; v3=BE-CE+BC; w3=BE+CE-BC; 
    n3=Factor((u3*c+v3*b+w3*e)/(u3+v3+w3)); n3B=Factor((u3*cB+v3*bB+w3*eB)/(u3+v3+w3));
    
    Nul=numden(Factor(det([n1 n1B 1; n2 n2B 1; n3 n3B 1])))
    Nul=Factor(subs(Nul,[CE^2 DE^2],[CE2 DE2]))
    % On trouve Nul=0 donc N1, N2, N3 sont alignés
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir,

    Quand $E$ décrit $(BC)$, l'enveloppe de la droite passant par ces trois points de Nagel est la quartique d'équation $4xy(x-1)(y+1) + 1 = 0$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Merci Rescassol. Le lieu de $N_1$ est l'hyperbole $2x y - y^2 + 2x + 4y + 1 = 0$ (avec $A(-1,-1)$, $B(1,-1)$, $C(1,1$ et $D(-1,1)$).
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