Convergence de série de Fourier

Hypocrates

Si $\sum_n a_n$ converge, alors est-ce que $\sum_n a_n e^{in \theta}$ converge pour presque tout $\theta$ sauf en des points isolés ?

querty

oui en gros cela  provoquer des oscillations dans les termes de la série, mais ces oscillations n'influencent pas la convergence de la somme pour plus de détail voir l'IA du coin

Math Coss

IA ça veut dire « intuition Abel » ? Bonne idée ! Il me semble qu'on peut appliquer le critère d'Abel avec la suite des restes d'une part et la suite $\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}$ d'autre part.

gebrane

Bonjour MC, Tu vises ce critère  ?

Math Coss

À peu près, en remplaçant des sommes partielles par des restes. Pas clair que ça marche néanmoins.

gebrane

Ce n'est pas clair aussi pour moi c'est pourquoi je t'ai posé cette question 

Guego

La question peut être reformulée en : si une série entière converge en un point du bord de son disque de convergence, est-ce que ça converge en les autres points du bord, sauf éventuellement en des points isolés ?

Je n'ai pas la réponse, mais il me semble que non.

Guego

Contre-exemple : https://mathoverflow.net/questions/182444/power-series-with-funny-behavior-at-the-boundary

Il existe une série entière qui converge presque partout sur le bord de son disque de convergence, mais qui diverge également sur un sous-ensemble dense de ce même bord.

gebrane

Dans le livre  

**North-Holland Mathematics Studies (Vol 208)**,  

*Nine Introductions in Complex Analysis* de Sanford L. Segal,  

il y a un exemple dû à Sierpiński d'une série entière de rayon de convergence \( R = 1 \), qui converge en \( z = 1 \) mais diverge en tous les autres points du bord du disque unité.
Question résolue 

Hypocrates

Si $\ sum_n a_n$ converge, alors est-ce que $\sum_n a_n^2 e^{in \theta}$ converge ?

Hypocrates

$\sum_n a_n$

Hypocrates

Si $\sum_n a_n$ converge, alors est-ce que $\sum_n a_n e^{-a_n t}$ converge ?

gebrane

Très amusant, tu poses n'importe quelle question qui te vient à l'esprit, et c'est à nous de nous salir les mains