Fonction $2\pi$-périodique continue sur R

taib
Modifié (December 2024) dans Analyse
Bonjour tout le monde, 
Je n'arrive pas à comprendre la propriété ci-dessous :
Pour montrer qu'une fonction $f$ $2\pi$-périodique est continue sur $\mathbb{R}$, il suffit  de montrer que :
  • $f$ est continue sur l'intervalle $]-\pi,\pi[$,
  • $f$ est continue en $\pi$ i.e.,
$$f(\pi)=\lim_{x \rightarrow \pi^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow -\pi^+}f(x).$$

S'il vous plait quelqu'un peut-il m'apporter plus d'éclaircissements ?
Merci d'avance

Réponses

  • Quel est ton niveau ?
    Quel est le problème avec cet énoncé ? On nous dit Il SUFFIT de ... etc etc.
     Ton problème, tu considères que ce n'est pas suffisant de montrer que ... ?
    Ou tu considère que ce n'est pas nécessaire de montrer tout ça, il suffirait de montrer moins de choses ?

    Autre piste pour lancer la machine : as-tu fait un dessin ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • Zebilamouche
    Modifié (December 2024)
    Ton hypothèse implique donc que 𝑓 est continue sur $]-\pi, \pi]$. Soit $x$ réel. On peut trouver un unique $k$ entier tel que $x\in ](2k-1)\pi, (2k+1)\pi]$. Soit $x_n$ une suite de réels qui tend vers $x$. La suite $(x_n-2k\pi)$ tend vers $x-2k\pi \in ]-\pi, \pi]$ où $f$ est continue. À partir de là c'est facile de montrer que $f(x_n)$ tend vers $f(x)$.

    En clair une question de rédaction que ton prof t'a demandé. Si tu as des difficultés à suivre le raisonnement je te conseille de reprendre ton cours sur la caractérisation de la continuité.
  • gebrane
    Modifié (December 2024)
    Tu démontres par périodicité 
    1) De f continue sur $]-\pi, \pi[$, alors f est continue sur R sauf peut être aux points $(2k+1)\pi$
    2) De f continue en $\pi$ tu démontres que f est continues aux points $(2k+1)\pi$

    Le danger c'est de dire si f est continue sur $[-\pi, \pi ]$ alors par périodicité;  f est continue sur R
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


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