Le carré disparu

Malgame

Bonjour les géomètres !

Un problème très classique : 4 points, E,F,G,H, 1 sur chaque côté d'un carré ABCD. Le carré disparaît, il faut le reconstituer. En géométrie euclidienne, il y a un "truc" efficace, on crée un point K tel que $\vec{GK}$ soit perpendiculaire et de même norme que $\vec{HF}$. Un petit calcul montre alors que le milieu $M$ de $[EK]$ appartient à $(CD)$. Si $M$ est différent de $G$ cela permet de tracer le carré. Si par malchance, $M=G$, on montre qu'il y a une infinité de solutions.

Mais cette question--me dit-on-- est de nature projective et on peut l'aborder avec une homographie.Quelqu'un sait-il de quoi il s'agit ?

Merci d'avance !

Math Coss

Un carré en géométrie projective ? Qu'est-ce que c'est ?

gipsyc

Bonjour,

Une autre construction à la règle et au compas (donné par Viktor Kutsenok).
Soient E, F, G et H les 4 points répartis sur les 4 côtés du carré ABCD disparu à reconstruire.

Les sommets du carré A, B, C et D sont sur les demi-cercles extérieurs aux cercles de diamètre EF, FG, GH, HE.

Les milieux Mef, Mfg, MgH et Meh des arcs formés par les demi-cercles intérieurs de ces 4 cercles sont sur les diagonales du carré perdu.

Ces diagonales donnent par intersection les points A, B, C er D recherchés sur les demi-cercles extérieurs.

Et voilà.

Jean-Pol Coulon 

Tonm

Bonjour, un lien aussi (jolie problème)
https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/GeoGebra/SquareFromFourPoints.shtml

gipsyc

Merci Tomm pour la référence
... qui reprend les deux solutions proposées plus haut.

Malgame

Merci pour les réponses.

Tonm

Bonjour, encore une réponse en calculs:
On se donne les $4$ points $A(0;0)$, $C(1;0)$, $B(a;b)$ et $D(c;d)$ dans le plan. On considère trouver un carré ayant ces $4$ points chacun sur un de ses côtés ou son extension. 
On suppose que $A$ et $C$ sont sur des côtés opposés. Les droites supports des côtés sont $y=px$,  $y=px-p$, $y=-\frac{1}{p}x+b+\frac{a}{p}$ et $y=-\frac{1}{p}x+d+\frac{c}{p}$.

La distance entre les deux premières droites est $L=\frac{|p|}{\sqrt{1+p^2}}$. Les points d'intersections avec $y=px$ sont  $E=(\frac{bp+a}{1+p^2}; p\frac{bp+a}{1+p^2})$ et $F=(\frac{dp+c}{1+p^2}; p\frac{dp+c}{1+p^2})$.
 $EF=\dfrac{|(b-d)p+a-c|}{\sqrt{1+p^2}}$.
Donc les solutions vérifient $p=\pm ((b-d)p+a-c)$.

Cordialement.