Matrice définie positive

Hypocrates

Si $(g_{ij})$ est définie positive, alors est-ce que $(|g_{ij}|)$ est définie positive ?

MrJ

Édit : j'ai écrit n'importe quoi pour mon exemple ; calculer un déterminant 2x2 sans erreur semble difficile pour moi trop matinalement

Un exemple à méditer : A = 1&-1\\-1&1.

Par contre, je soupçonne (sans certitude) que si $A=(a_{i,j})$ est positive, alors $|A| = (|a_{i,j}|)$ est positive. En tout cas, il me semble que ça marche déjà pour $n=2$.

Hypocrates

De même, est-ce que $(g_{ij}^2)$ est définie positive ?

MrJ

Attention : je me suis trompé dans mon exemple précédent. L'affirmation est peut-être vraie finalement.

Par contre, pour la seconde question, je suis sûr que la réponse est oui : il s'agit d'une conséquence du théorème du produit de Schur.

gebrane

Je tente aussi ma chance pour une marrice 2x2, et sauf betise du samedi 

edit j'efface 

mais Chatgpt me donne ce contrer $$A=\left[\matrix{10 & 3 & -2 & 1\\3 & 10 & 0 & 9\\-2 & 0 & 10& 4\\1 & 9 & 4 & 10}\right].$$  Il me semble que le truc est vrai pour les dimensions 2 et 3

Hypocrates

Plus généralement, est-ce que $(g_{ij}^x)$ est définie positive ?

gebrane

Mais avant peux tu vérifier que le contrer donné par ChatGPT est bon, je ne le fais pas à ta place et surtout un samedi 

JLT

ll y a aussi le contre-exemple

$$A=\begin{pmatrix}
3 & -1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & 0 & -1\\
-1 & 0 & 1 & 1\\
0 & -1 & 1 & 2
\end{pmatrix}$$

gebrane

ChatGPT n 'arrive pas à me donner un contre-exemple pour une matrice 3x3,
Quelqu'un peut-il fournir une preuve que cette propriété est vraie pour une matrice 3x3 ?

lale

En faisant une décomposition en carrés de Gauss de la forme quadratique 

Guego

J'ai fait un programme pour tester toutes les matrices $3\times 3$ symétriques à coefficients entiers entre $-10$ et $10$. Pas de contre-exemple trouvé.

Édit : pas mieux en passant les bornes de $-15$ à $15$.

lale

Si la forme quadratique est $Q=ax^2+by^2+cz^2+2uxy+2vyz+2wxz$ alors dans la décomposition en carrés de Gauss les coefficients des carrés sont 
du signe de $a, ab-u^2,a^3c-(av-uw)^2 (ab-u^2)$ Q étant définie positive ces coefficients sont strictement positifs   .  les seuls coefficients non positifs sont $u,v,w$  or $(a|v|-|u||w|)^2 \leq (av-uw)^2$  .Donc  changer$ u,v,w,$ en $|u|,|v|,|w|$ ne change pas le caractère positif de Q

gebrane

Un  résultat inattendu, merci lale pour ta preuve élégante 

MrJ

C’est surprenant pour ce type de propriété que le résultat soit vrai pour $n\leq 3$ et faux à partir de $n=4$. Merci pour la démonstration et les contre-exemples.

bisam

C'est surtout surprenant que ce ne soit pas plus connu !

P.2

Pour $n=2$ et $n=3$ c'est assez evident que $(|g_{ij}|)$ est encore definie positive. Par exemple

$$\det \left[\begin{array}{ccc}\alpha&c&b\\c&\beta&a\\b&a&\gamma\end{array}\right]=\alpha \beta \gamma+2abc-\alpha a^2-\beta b^2 -\gamma c^2.$$ Si cette matrice $(3,3)$ est definie positive alors les $ \alpha, \ \beta,\ \gamma$ sont positifs ainsi que le determinant ci dessus. Reste a observer que $2abc\leq |2abc|.$ Bravo a ceux qui ont trouve des contre exemples pour $n=4.$

En ce qui concerne les matrices $(g_{ij}^x)$ avec $g_{ij}>0$ qui sont definies positives pour tout $x>0$ le probleme est traite dans P. Farjot, Linear Algebra and its Applications 1976 volume 15 (3) pages 189-195.

gebrane

Pour ma part, j'étais incapable de trouver un contre-exemple avec une matrice 4x4 sans recourir à ChatGPT (la version actuelle, qui a accès en ligne, est redoutable, même si je sais qu'il a probablement déniché l'exemple quelque part sur le net).
Je ne sais pas comment JLT a trouvé son contre-exemple

JLT

Trouver un contre-exemple n'est pas difficile avec un ordinateur, on teste des matrices de la forme $P^TP$ avec $P\in M_4(\R)$ matrice aléatoire. J'ai affiné un peu pour trouver des matrices avec des petits coefficients entiers pour que ce soit plus joli.