Calcul d'intégrale généralisée

Bethebesteveryday

Bonjour, (dans le cadre des distributions)

Pourriez-vous m'aider à calculer cette intégrale : \[ I = \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin^2(t)}{t^2} \, dt \]
j'ai arrêté en \[ I = \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{t^2} \, dt - \frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}} \frac{\cos(2t)}{t^2} \, dt. \]

Bethebesteveryday

Et La fonction $f_n(x)$ est définie comme suit : \[ f_n(x) = \begin{cases} \frac{\sin^2(nx)}{n x^2} & \text{si } x \neq 0, \\ 0 & \text{si } x = 0. \end{cases} \]
pourquoi est-ce que : \[ \left| \frac{\sin^2(t)}{t^2} \cdot \varphi\left(\frac{t}{n}\right) \right| \leq M \cdot \frac{\sin^2(t)}{t^2}, \] où \( M \) est une constante positive dépendant de \(\varphi\) ?

gebrane

Le calcul de cette intégrale est déjà vu au forum, écris 1/t² comme Laplace d'un truc et utilise Fubini

bd2017

Bonjour

Perso j'ai lu "dans le cadre des distributions"  c'est à dire qu'il faudrait calculer dans ce cadre particulier.

Donc  si  on pose $f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}$ on peut calculer sa transformée de Fourier  avec l'aide de

  $F(1)=\sqrt{2 \pi} \delta_0$   (dist.) et des propriétés de la transformée de Fourier (il  me semble que @Bethebesteveryday   avait posé cet exercice il y a quelques jours.  )

On  retrouve facilement avec  l'aide des  propriétés de Fourier  que   

   $$F(f)(\xi)=  \dfrac{\sqrt{\frac{\pi }{2}}}{2} 1_{[-1,1]}(\xi)$$

Maintenant faisons le lien avec la question   

  $$I=  (f *f) (0)$$

Mais  $$F(f*f)=F (f) ^2$$ 

Il suffit de faire Fourier inverse de $F (f) ^2$, ce qui est facile à calculer et de prendre la valeur en $x=0.$   

gebrane

Bonjour @bd2017 à te lire  " Perso j'ai lu "dans le cadre des distributions"  c'est à dire qu'il faudrait calculer dans ce cadre particulier", il semble que tu n'as pas compris ce que je propose  qui évite les distributions    Edit je viens de voir  ce dimanche que l"OP avait dit  (dans le cadre des distributions) Pourriez-vous m'aider à calculer cette intégrale :
Donc J'étais aveuglé à ce point !! incroyable 

Bethebesteveryday

@bd2017 F1=2pi delta_0
 

Fin de partie

Dans le premier message on ne peut pas écrire l'intégrale à calculer comme une somme d'intégrales de cette façon, la fonction $x\rightarrow 1/x^2$ n'est pas intégrable sur $\mathbb{R}$ (problème de convergence en $0$)

\begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}dx\\ &=\frac12\int_0^\infty\frac{1-\cos(2x)}{x^2}dx\\ &\overset{u=2x}=\int_0^\infty\frac{1-\cos(u)}{u^2}du\\ &\overset{\text{IPP}}=-\underbrace{\Big[\frac{1-\cos u}{u}\Big]_0^\infty}_{=0}+\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}du\\ &=\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}du\\ \end{align} PS: Et pour finir le calcul on peut considérer la fonction définie sur $[0,\infty[$ par: \begin{align}F(t)=\int_0^\infty \frac{\sin u}{u}\text{e}^{-tu}du\end{align} et on calcule $F^\prime(t)$

bd2017

Bethebesteveryday a dit :

@bd2017 F1=2pi delta_0
 

Oui et non.  Tout dépend de la définition de la transformée de Fourier que tu as choisi. 

Pour moi    $$F(f)(\xi) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_\R  e^{-i x \xi} f(x) dx.$$ 

Ce qui a l'avantage d'avoir la même forme pour la transformée inverse.  

Maintenant tu fais le choix que tu veux, tu arrivera finalement au même résultat à la fin.

Bethebesteveryday

bd2017 a dit :

Bethebesteveryday a dit :

@bd2017 F1=2pi delta_0
 

Oui et non.  Tout dépend de la définition de la transformée de Fourier que tu as choisi. 

Pour moi    $$F(f)(\xi) =\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_\R  e^{-i x \xi} f(x) dx.$$ 

Ce qui a l'avantage d'avoir la même forme pour la transformée inverse.  

Maintenant tu fais le choix que tu veux, tu arrivera finalement au même résultat à la fin.

On a défini $$F(f)(\xi) = \int_\R  e^{-i x \xi} f(x) dx.$$

Fin de partie

@bd2017 : Tu prends la valeur en $x=0$ d'une distribution? Je ne sais pas comment on prend la valeur en $x=0$ d'une forme linéaire définie sur un ensemble de fonctions.

gebrane

Dans ce cas d'exemple, les transformées de Laplace (TL) sont plus pratiques. Je rappelle la méthode (déjà vue ici) :$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^{2}(t)}{t^{2}} \, dt = \int_{0}^{\infty} \sin^{2}(t) \mathcal{L}\left(x \right)(t) \, dt = \int_{0}^{\infty} \sin^{2}(t) \left(\int_{0}^{\infty} x e^{-xt} \, dx \right) \, dt.$$

En intervertissant les intégrales grâce à Fubini : 

$$\int_{0}^{\infty} x \left(\int_{0}^{\infty} \sin^{2}(t) e^{-xt} \, dt \right) \, dx = \int_{0}^{\infty} x \, \mathcal{L}(\sin^{2}(t))(x) \, dx.$$

Or, on sait que : 

$$\sin^{2}(t) = \frac{1 - \cos(2t)}{2}.$$

Ainsi : 

$$\int_{0}^{\infty} x \, \mathcal{L} \left(\frac{1 - \cos(2t)}{2}\right)(x) \, dx = \frac12\int_{0}^{\infty} x \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2} + 4}\right) \, dx=\frac12 \int_{0}^{\infty} x \left(\frac{4}{x(x^2 + 4)} \right) \, dx=\frac{\pi}2$$

bd2017

@fdp je prends la valeur en zéro d'une fonction de classe infinie .
On part de Fourier de 1, on est  dans le cadre des distributions comme demandé et c'est déjà vu par l'Op. La suite est basique.

bd2017

On part de $F(1)=\sqrt{2 \pi } \delta_0$ donc  $F(\sin(x))=i \sqrt{\frac{\pi }{2}} (\delta_1- \delta_{-1})$

D'où en multipliant par $-i$  et en intégrant on a : $$F(f(x))=F(\dfrac{\sin(x)}{x}) =\sqrt{\frac{\pi }{2}} \chi_{[-1,1]}$$

( La constante d'intégration étant nulle).  

On a donc  $$F( f*f)= \sqrt{ 2\pi}    F(f(x))^2 =\frac{\pi ^{3/2}}{\sqrt{2}} \chi_{[-1,1]}$$

Il reste à déterminer la transformée de Fourier inverse et de prendre la valeur en $x=0,$  i.e,

   $$I=\dfrac{1}{\sqrt{ 2 \pi} }\times \frac{\pi ^{3/2}}{\sqrt{2}} \int_{[-1,1 ]} 1 dx  = \pi$$

gebrane

Bonjour @bd2017,

Je tiens à m'excuser pour mon message ci-dessus, car je viens de réaliser tardivement, en ce dimanche, que l'OP cherchait une méthode avec les distributions.

bd2017

Bonjour

@Gebrane oui  mais il l'avait dit entre parenthèses et ce n'est pas dit clairement. 

Ceci étant dit, passer par les distributions parait très simple  mais en fait pas du tout. 

En effet,  la définition de Fourier n'est pas unique et  selon les différentes définitions, il y a des constantes qui trainent ici et là. Tout est fait pour se planter. D'un autre côté c'est un bon exercice pour placer les bonnes constantes.

Concernant la deuxième question de @Bethebesteveryday elle n'est pas claire du tout.  

Math Coss

Probablement la même chose que ce que dit @gebrane mais sans invoquer Laplace, presque la même chose que ce que dit @Fin de partie mais sans introduire d'intégrales semi-convergente, on peut définir \[F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin^2t}{t^2}\mathrm{e}^{-xt}\mathrm{d}t\] et trouver une équation différentielle satisfaite par $F$.