Sur un jeu de 52 cartes

LadyCe95

Exercice: 
Un jeu de cartes standard contient 52 cartes (13 cartes numérotées de 1 à 13 dans chaque symbole: trèfle, carreau, coeur et pique). Les trèfles et les piques sont noires, tandis que les carreaux et les coeurs sont rouges. On effectue un tirage successif de deux cartes avec remise et on considère les événements suivants: 
A "les deux cartes tirées aient des numéros différents"
B" la seconde carte soit rouge" 

1. Calculez $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap{}B)$. 

1. Calculez la probabilité que la deuxième carte soit noire sachant que la première soit rouge.

Comme correction de cet exercice, je propose

$P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ $Card(\Omega)=52*52$ $Card(A)= 16*13*12 $ donc $P(A)=\frac{16*13*12}{52*52}$ Pour l'événement B , on a $P(B) =\frac{26}{52}$ Pour $A\cap B$, $P(A\cap{}B)$=$\frac{26*26}{52*52}+\frac{26*25}{52*52}$.
 Mais je ne suis pas certaine à propos de $P(B)$. Est ce que je dois utiliser la formule totale de probabilité pour calculer P(B) et si oui comment je dois calculer la probabilité de l'événement "la première carte est noire " ?

lourrran

Sur ce forum, on va te demander de proposer une solution, et on va te dire : c'est bon, ou bien c'est pas bon pour telle ou telle raison, etc etc.

LadyCe95

Je suis fatiguée et je voudrais dormir. Mais ne vous inquiétez pas!! Je vais vous surpris par ma solution. 

LadyCe95

$P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ $Card(\Omega)=52*52$ $Card(A)= 16*13*12 $ donc $P(A)=\frac{16*13*12}{52*52}$ Pour l'événement B , on a $P(B) =\frac{26}{52}$ Pour $A\cap B$,

 $P(A\cap $=$\frac{26*26}{52*52}+\frac{26*25}{52*52}$

lourrran

$P(A)$ : ok, même si je trouve le '''raisonnement''' bizarre.
$P(B )$ : ok.
$P(A \cap B )$ : A priori, tu as voulu écrire $\dfrac{26*26}{52*52}+\dfrac{26*25}{52*52}$
C'est faux. J'essaie de deviner comment tu arrives à ce résultat, et je ne vois pas du tout.
Est-ce que $P(A \cap B )$  peut se déduire de $P(A)$ et $P(B)$ .. et si oui, pourquoi ?

LadyCe95

Pour l'événement $A$ , il faut tirer deux cartes de numéros distinctes (D'après l'énoncé de l'exercice, le type de tirage est le tirage successif avec remise) alors pour calculer le cardinal de $A$ on a 13 possibilités de choisir la première carte de numéro x et on a 12 possibilités de choisir la deuxième carte de différent numéro y. Mais, il ne faut pas oublier qu'on a 4 types de cartes (trèfle, carreau, cœur et pique) donc pourque la première carte portant le numéro x s'apparaisse on a 4 façons et pour que la deuxième carte portant le numéro y s'apparaisse on a 4 façons. On conclut que le nombre possibilités pourque l'événement $A$ se produise est $13*12*4*4$, c'est pourquoi j'ai écrit que le cardinale de $A$ est $13*12*4*4$. 

Pour l'événement $B$= "La seconde soit rouge",  on a 26 cartes rouges donc la probabilité que la seconde carte soit rouge est $\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$. Mais, (je ne suis pas certaine de ce raisonnement car je pense que je dois utiliser la formule totale de probabilité pour calculer la probabilité pour la seconde carte soit rouge! ). 


Pour P($A\cap B$), j'ai essayé de comprendre le sens de cet événement, c'est-à-dire $A\cap B$ signifie "soient une carte noire et une carte rouge de différent numéros ou deux cartes rouges de numéros différents". Donc, le cardinale de $A\cap B$ est $2*2*13*12+13*12*2*2$. On a 13 possibilités d'obtenir une carte rouge de numéro x  et $12$ possibilités d'obtenir une carte noire de numéro y et on $2$ types de cartes pour chaque couleur c'est pourquoi j'ai multiplié $13*12$ par $2*2$. Ici le $2*2$ est le nombre de façons d'obtenir des cartes rouges et noires de numéros différents. Pour la deuxième, on a $13$ possibilités d'obtenir une carte rouge et on a aussi $12$ pour obtenir une carte rouge (car c'est un tirage successif avec remise) et on multiplié $13*12$ par $2*2$ (le nombre de façons de choisir deux cartes rouges de numéros différents).

Après ces questions, il demande est ce que ces événements suivants $A$ et $B$ sont indépendants. Non, on ne peut pas déduire  P($A\cap B$). Il faut vraiment la calculer. 

Est ce que le raisonnement de $P(B)$ et de P($A\cap B$) que j'ai fait est correct ? 

LadyCe95

Pour la dernière question de l'exercice, j'ai utiliser la formule de Bayes, c'est-à-dire 
$P(\mbox{la deuxième carte soit noire}/ \mbox{la première carte est noire})$=$\frac{P(\mbox{la première est noire et la deuxième est rouge})}{P(\mbox{la première carte est noire})}$
=$\frac{\frac{26*26}{52*52}}{\frac{26}{52}}$
=$\frac{26}{52}=\frac{1}{2}$

Est ce que c'est correct ?

zeitnot

Pour ta probabilité conditionnelle, il n'y a aucune formule à utiliser. C'est un tirage avec remise, la probabilité que la quinzième carte soit noire, sachant que pour les 14 précédentes, on a eu 2 rouges, 3 noires, 3 rouges, 1 noire, 1 rouge, 1 noire, 2 rouges, 1 noire.... fait trivialement $1/2$

bd2017

  P($A\cap B$) est faux.   On a $P(A)=12/13.$  Ce résultat est la conséquence de la détermination du nombre de cas où les  deux numéros sont différents. Parmi ces possibilités, c'est clair qu'il y a autant de cas où  la second nombre tirés provient d'une carte rouge que d'une carte.   Donc si la seconde carte est rouge le nombre de possibilités est divisé par 2. 

Il vient donc  P($A\cap B$$)=6/13$

LadyCe95

C'est-à-dire, 
pour la deuxième, on a $13$ possibilités d'obtenir une carte rouge et on a aussi $12$ pour obtenir une carte rouge et on multiplié $13∗12$ par 2 ( le 2 ici est le nombre de façons de choisir deux cartes rouges de numéros différents)? ? Je n'ai pas bien comprendre   

lourrran

c'est-à-dire $A\cap B$ signifie "soient une carte noire et une carte rouge de différent numéros ou deux cartes rouges de numéros différents".

Non, pas du tout.
Le mot 'français' qui correspond au symbole $\cap$ , c'est le mot $\text{et}$
Le symbole qui correspond au mot $\text{ou}$, c'est $\cup$

Pour les questions comme ça de dénombrement (tirages, etc), on peut souvent voir ça avec un aspect chronologie, et avec un aspect jeu.
Pour la question A, on gagne si on a 2 cartes de niveaux différents.
On tire une première carte. Est-ce qu'il y a des cartes gagnantes et des perdantes ? Non.
On note la valeur de cette première carte. on la remet dans le tas.
Pour la 2ème carte, il y a maintenant 4 cartes 'perdantes' et 48 cartes 'gagnantes'.
On a une probabilité de $\frac{48}{52}$ de gagner, c'est à dire $\frac{12}{13}$.
Dans ton calcul, quand tu écris $\frac{16 \times 12 \times 13}{52 \times 52}$, le calcul n'est pas fini. Un résultat doit être présenté sous forme de fraction irréductible. Après simplification, tu vas obtenir $\frac{12}{13}$