Aire de $OIH$

Ludwig

Bonsoir,

On appelle $O$ et $R$ le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$, $I$ et $r$ le centre et le rayon du cercle inscrit, $H$ l'orthocentre, $a$, $b$, $c$ les côtés ($a>b>c)$, $2p$ le périmètre et $S$ l'aire du triangle $OIH$. Montrer que :$$S=\frac{(b-c)(a-c)(a-b)}{8r}.$$ En déduire la condition pour que le triangle $ABC$ soit possible avec les éléments $p$, $r$, $R$.

Bouzar

Bonsoir,

Cordialement

Ludwig

Merci @Bouzar. Cette preuve est extraite d'un livre ?

Ce problème est la question 1593 des Nouvelles annales de mathématiques (1890). La condition pour que le triangle $ABC$ soit constructible y est écrite sous la forme :

$$p^4-2(R^2+10Rr-r^2)p^2+r(4R+r)^3 \leq 0.$$ Pour la trouver on peut utiliser la formule de Héron à partir du carré de la dernière formule de ton document, on obtient : $16S^2=-p^4+p^2(ab+ac+bc)-abcp.$ On a aussi $abc=4prR$ mais après ? Il est toujours possible de vérifier la condition en utilisant les expressions de $r$ et $R$ en fonction des côtés mais comment la trouver directement ? On peut aussi se demander si c'est une condition suffisante.

En attendant, une petite figure s'impose.

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

pour la formule à démontrer, quelle piste synthétique peut-on proposer ?

Sincèrement
Jean-Louis

Rescassol

Bonjour,

Par définition, une méthode synthétique ne démontre pas une "formule".

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonjour,

% Ludwig - 29 Novembre 2024 - Aire de OIH

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
Sab=Sa*Sb; Sbc=Sb*Sc; Sca=Sc*Sa;

%-----------------------------------------------------------------------

syms r real

O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc]; I=[a; b; c]; H=[Sbc; Sca; Sab]; 

% Rapport de l'aire de OIH à celle de ABC
OIH=Factor(det([O I H])/(sum(O)*sum(I)*sum(H)));
% On trouve OIH=(a-b)*(b-c)*(c-a)/((b-a+c)*(a-b+c)*(a+b-c))
AireABC=(a+b+c)*r/2; % Aire(ABC)=p*r/2
AireOIH=OIH*AireABC;
% D'autre part, on sait que:
r2=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(4*(a+b+c)); % r2=r^2

S=(a-b)*(b-c)*(c-a)/(8*r); % Aire supposée de OIH

Nul=Factor(S-AireOIH);
Nul=Factor(subs(Nul,r^2,r2))
% On trouve Nul=0 donc c'est gagné

Cordialement,
Rescassol

Jean-Louis Ayme

tu es fort
Jean-louis

Ludwig

Bonne nouvelle, on peut calculer les longueurs des côtés du triangle à partir de $p$, $r$ et $R$. Si je ne me suis pas trompé dans mes trois pages de calcul formel, deux de ces longueurs sont solutions de l'équation : $$x^3 - 2p x^2+ x(p^2 + r^2 +4rR) - 4r p R = 0.$$ Il y a une jolie figure à faire : la construction du triangle à partir de $p$, $r$ et $R$, dont les valeurs seront contrôlées par trois curseurs interdépendants (agir sur l'un modifiera les plages des deux autres). Mais là je n'ai pas le temps, ce sera demain.

Rescassol

Bonjour,

Je confirme ton équation, en moins de trois pages:

syms p r R real

% R^2=a^2*b^2*c^2/((a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c))
% r2=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(4*(a+b+c))
% p=(a+b+c)/2

X=a+b+c-2*p;
Y=(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)-4*(a+b+c)*r^2;
Z=a^2*b^2*c^2-(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)*R^2;

Res1=Factor(resultant(X,Y,c))
Res2=Factor(resultant(X,Z,c))
Res=Factor(resultant(Res1,Res2,b))
% On trouve:
Eq1=a^3 - 2*a^2*p + a*p^2 + a*r^2 - 4*R*a*r + 4*R*p*r;
Eq2=a^3 - 2*a^2*p + a*p^2 + a*r^2 + 4*R*a*r - 4*R*p*r;
Eq1=collect(Eq1,a)
Eq2=collect(Eq2,a)
% Ce qui donne:
Eq1=a^3 -2*p*a^2 + (p^2 + r^2 - 4*R*r)*a + 4*R*p*r
Eq2=a^3 -2*p*a^2 + (p^2 + r^2 + 4*R*r)*a - 4*R*p*r

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir,

Par contre, pour la condition, il y a une légère différence:

Disc1=Factor(resultant(Eq1,diff(Eq1,a),a)/(4*r^2));
Disc2=Factor(resultant(Eq2,diff(Eq2,a),a)/(4*r^2));
Disc1=collect(Disc1,p);
Disc2=collect(Disc2,p);
% On trouve:
Disc1=p^4 - 2*(2*R^2-10*R*r-r^2)*p^2 - r*(4*R-r)^3;
Disc2=p^4 - 2*(2*R^2+10*R*r-r^2)*p^2 + r*(4*R+r)^3;

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Merci @Rescassol, et bravo pour ton efficacité ! Tes deux équations doivent conduire aux mêmes triangles, une histoire de symétrie. Pour leur discriminant je ne sais pas trop, je dirais bien que chacun conduit aux mêmes plages que les miennes pour les variables. Car je viens de terminer la figure avec les curseurs et le résultat me semble cohérent : triangle plat ou isocèle aux bornes.

Ci-joint le fichier GeoGebra (à renommer en .ggb), qui a encore un petit problème à une borne ou deux (le triangle disparaît, problème d'intersection).

Rescassol

Bonsoir,

Il y a quand même un $2$ dans mes discriminants qui n'est pas dans le tien.

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Oui, et ce sont tes formules qui sont justes, celle de l'article de 1890 est fausse. Mais celles de mon fichier geogebra sont correctes... du coup je ne comprends pas. Car j'ai beau regarder je ne trouve pas comment j'ai fait, et je ne me souviens pas avoir retrouvé la condition..

Ludwig

Si ça se trouve j'ai fait une erreur de frappe, j'ai remis un deuxième $2$ dans la parenthèse !

Ah ben c'est ça ! J'ai retrouvé la première fois que j'ai tapé la formule, et après j'ai fait des copiés-collés partout. Magnifique !

Ludwig

J'ai réglé les problèmes aux bornes (voir fichier joint). Ce n'était pas des problèmes d'intersection de cercles mais de résolution d'équation : pour celle qui donne les longueurs des côtés GGB ne donnait parfois qu'une solution pour les triangles isocèles. J'ai calculé les autres à la main.

On peut sans doute faire mieux, car l'utilisation de curseurs oblige à entrer un pas qui empêche d'aller bien dans les coins. Il faudrait pouvoir agir directement sur les points de la figure. Mais si l'interdépendance des curseurs est possible la circularité des définitions ne l'est pas... Il y a peut-être une astuce.

Ludwig

Il y a une construction sans curseur, mais elle n'est pas très jolie. La longueur du plus petit côté du triangle varie entre deux nombres que l'on calculer à partir de $r$ et $R$. Le point $A$ étant donné sur le cercle circonscrit on peut donc placer $B$. La relation d'Euler $d^2=R(R-2r)$ permet alors de construire $C$.

Ce n'est pas terrible car on agit sur le côté $c$, et non pas directement sur $p$. De plus bouger $B$ ou faire varier $R$ fait aussi varier $p$, alors que l'utilisation de curseurs permet de faire varier l'une des variables $p$, $r$ ou $R$ tout en laissant fixes les deux autres. C'est quand même imbattable.

Jean-Louis Ayme

Bonjour Bouzar,

merci pour votre preuve....

Pour le problème  la question 1593 des Nouvelles annales de mathématiques (1890), la formule trigonométrique concernant l'aire du triangle OIH est-elle correcte?

Merci
Sincèrement
Jean-Louis