Nouvelle conjecture reliant les nombres premiers Pn+1 et Pn

Emphyrio

Soit pn et pn+1 deux nombres premiers consécutifs, on admettra par hypothèse qu'en moyenne :

Dès lors : 

Considérons :

on a : 

Sauf erreur Pk = 101

noobey

Que veut dire "en moyenne $p_{n+1}/p_n < ln(p_n)$"

Emphyrio

Vous voulez dire en moyenne 

Si oui, c'est un résultat donné par la relation classique utilisée pour estimer les pn soit : pn = nln(n) avec n > 6

On trouve pn+1 - pn qui vaut environ ln(n)  <  ln(pn) quand n > 6

lourrran

Quand on fait des maths, on utilise les quantificateurs $\forall$ et/ou $\exists$
C'est essentiel.
Si tu complètes ton message en mettant les quantificateurs nécessaires, tu vas certainement trouver tes erreurs toi-même.

Emphyrio

Je comprends que faire appel à une moyenne qui est parfois largement hors course est le point faible de la démonstration mais je pense que les informations perdues par l'effet de la moyenne sont compensées par les termes associés au DL de l'exponentiel. Cela dit, j'ai trouvé une conjecture plus faible pour laquelle je pense que la démonstration est plus rigoureuse. Il faut prendre une puissance en 1/ln(pn) au lieu de 1/pn dans la formule liant pn+1 à pn et qui fonctionne à priori pour tout n > 0 .

Emphyrio

Existe-t-il une borne inférieure pour la constante C avec 2 < C <= 4 tel que :

Pn+1 < Pn(1 + C/n) où Pn et Pn+1 sont deux nombres premiers consécutifs pour tout n > 0 ?

On remarquera que la valeur 4 convient !

Je pense avoir démontré la valeur minimale et donc pouvoir valider la bonne réponse lorsqu'elle sera proposée avec ou sans démonstration.

Ps : Pour information avant fermeture probable du fil, la réponse est la valeur Cmin = 1+e, c'est vérifiable pour tout n > 0 par applications numériques directes.

Fin de partie

Emphyrio a dit :

Je comprends que faire appel à une moyenne qui est parfois largement hors course est le point faible de la démonstration mais je pense que les informations perdues par l'effet moyenne sont compensées par les termes associés au DL de l'exponentiel.

Tu n'as jamais défini mathématiquement ce que tu entendais par "effet moyenne" dans le contexte. M'est avis que ce ne sont que des mots pour toi.

Emphyrio

L'effet moyenne sous entend que parfois pn+1 - pn est supérieur à ln(pn)...