algèbre linéaire

Zebilamouche

Bonsoir, 

Est ce qu'il y'a une propriété du cours d'algèbre linéaire qui dit que : 
Si $V$ est une partie d'un espace vectoriel et que $Vect(V)$ a une dimension finie $r$ alors on peut trouver une base parmi les éléments de $V$ ?
 Merci 

gerard0

Bonjour.

À priori, cette propriété n'est pas nécessairement dans un cours d'algèbre linéaire, mais elle est élémentaire.

Je vais préciser, car tu n'as pas dit de quel espace vectoriel tu veux une base.

Vect(V) est un espace vectoriel engendré par V. Donc V est une partie génératrice de Vect(V), ,et de toute partie génératrice on peut extraire une base. Donc on peut extraire de V une base de vect(V).

Cordialement.

john_john

Bonsoir,
oui, tout à fait, même si $V$ est infinie ; pour établir cela, on peut partir de $B=\emptyset$ et lui adjoindre pas à pas des éléments de $V$ formant une famille libre avec ceux précédemment construits. L'arrêt se produira lorsque cette famille contiendra $r$ éléments (et cela ni avant, ni après l'obtention de ce cardinal).

raoul.S

Zebilamouche a dit :

Est ce qu'il y'a une propriété du cours d'algèbre linéaire qui dit que : 

Cette propriété est connue sous le nom de Théorème de la base incomplète.

gebrane

Zebila, je ne comprends pas ta question, lorsque on écrit dim vect(V)=r cela signifie  qu'il existe une base de Vect(V) formée de r éléments de V, Non? 

JLapin

Non, a priori, ça veut dire qu'il existe une base de Vect(V) formée de $r$ éléments de $Vect(V)$.

gebrane

Je ne comprends pas toujours, la question demande de construire une base de l'espace vectoriel disons E  ? Zebila ne precise rien ! , ( je viens de me réveiller)
edit Je crois que  l'espace considéré est  Vec(V). Merci Jlapin pour ta remarque 

Zebilamouche

C’est bien la première fois en deux ans que j’utilise cette propriété haha. Merci pour vos réponses en tous cas !

Zebilamouche

Si vous vouliez savoir c’était assez subtil car je partais d un groupe G additif de R^n et je cherchais des éléments de G qui formaient une base de Vect(G)

Zebilamouche

raoul.s  n'est ce pas plutot la propriété de la base extraite ?

JLapin

Appelle le comme ton prof l'appelle. Sinon, tu peux aussi observer que l'énoncé dont tu as besoin figure sur la page wikipedia mentionnée plus haut.

Ici, on peut bien parler de base incomplète puisqu'on part de la famille vide (qui est libre, donc bien une "base incomplète") et qu'on la complète avec des vecteurs de $V$ pour constituer une base de $Vect(V)$.