Explosion de chaîne de Markov en temps continue

Ch4rstz

J'apprends à l'aide de cours disponible en ligne le concept de chaîne de Markov en temps continue. Mais, une notion m'échappe à propos des processus stochastique à valeurs discretes avec des ensembles de temps continues (typiquement $\mathbb{R}^+$).

On peut leur associer des temps de saut $(J_n)_n$ avec $J_0 = 0$ et $J_{n+1} =$ inf$\{t \geq J_n ; X_t \neq X_{J_n}\}$ et $S_n$ les temps d'arrêt avec $S_n = J_n - J_{n-1}$ si $J_{n-1}$ est fini et $S_n = +\infty$ sinon.

Parmi les trajectoires possibles d'un tel processus, il est possible que les jump times deviennent de plus en plus court et que le processus effectue une infinité de saut en temps fini. On parle d'explosion et note $\Xi$ le sup des $J_n$. Mon livre parle du premier temps d'explosion.

Mes questions :

• Je comprend que si $\Xi$ est infini alors le processus n'explose pas en temps fini. Mais je ne sais pas comment interpréter l'explosion en temps fini. Si pour une trajectoire $\omega$ $\Xi(\omega) = 5$ par exemple, cela signifie qu'on ne saute jamais après 5 puisque tout les $J_n(\omega)$ seront majorés par 5. Mais ça veut aussi dire qu'on saute une infinité de fois avant le temps 5. Mais mon processus lui a toujours été défini sur $\mathbb{R}^+$ alors que se passe-t-il pour les $t \geq 5$ ?
• En quoi, cela justifierait la phrase "Si presque-surement le processus n'explose pas en temps fini, la loi de $(X(t))$ est définie de manière unique.". Contexte : introduction au processus de poisson, première définition avec temps de saut et temps d'arrêt.
  

Ma piste : En fait, les concepts de temps de saut et de temps d'arrêt ne permettent pas de comprendre totalement le processus si l'explosion se produit en temps fini. Le processus "redémarre" à 5 sans qu'on sache comment sans informations supplémentaires, il peut exploser une seconde fois ou non. Et donc, la second point se comprend ainsi : les temps d'arrêts et de sauts sont suffisant à déterminer la loi du processus si presque-surement aucune explosion ne survient en temps fini.

Positif

Whoaw, c’est un court de doctorat ?

Je m’étais arrêté à la décomposition de Levy-Khintchine. Là ce sont des maths extrêmement avancées.

Barjovrille

Ch4rstz a dit :

• Je comprend que si $\Xi$ est infini alors le processus n'explose pas en temps fini. Mais je ne sais pas comment interpréter l'explosion en temps fini. Si pour une trajectoire $\omega$ $\Xi(\omega) = 5$ par exemple, cela signifie qu'on ne saute jamais après 5 puisque tout les $J_n(\omega)$ seront majorés par 5. Mais ça veut aussi dire qu'on saute une infinité de fois avant le temps 5. Mais mon processus lui a toujours été défini sur $\mathbb{R}^+$ alors que se passe-t-il pour les $t \geq 5$ ?[...]

Ma piste : En fait, les concepts de temps de saut et de temps d'arrêt ne permettent pas de comprendre totalement le processus si l'explosion se produit en temps fini. Le processus "redémarre" à 5 sans qu'on sache comment sans informations supplémentaires, il peut exploser une seconde fois ou non.

Bonjour, si $\Xi = 5$, ça veut dire que le processus saute une infinité de fois avant $5$ et que le sup n'est pas atteint.

Avec les quantificateurs : $\forall  n ~ \exists n_0 > n, J_n  < J_{n_0} < 5$. Mais pour $t \geq 5$ le processus ne saute plus sinon le sup serait supérieur à 5.

Pour $t \geq 5$ le processus peut faire ce qu'il veut il saute ou il saute pas. Je pense qu'on pourrait dire que le nombre de saut de $X$ est "trop grand" pour être "capturer" par les $J_n$.

Ch4rstz a dit :

• En quoi, cela justifierait la phrase "Si presque-surement le processus n'explose pas en temps fini, la loi de $(X(t))$ est définie de manière unique."
  

 Dans ce cas le processus est "constant" : $X(t)=X_0$ pour tout $t$.

Dans ce cas le nombre de sauts est fini. Donc constant par morceaux (ici il faut comprendre constant par rapport au temps) et je pense que pour l'unicité il suffit de choisir les bonnes constante sur chaque morceau. $([0,J_1[, [J_1,J_2[ .... [J_n, + \infty[)$.

Désolé pour cette partie  j'ai lu trop vite, je n'ai pas la réponse... Intuitivement je dirais que si le processus n'explose pas (en temps fini) alors le nombre de sauts est au plus dénombrable.