Inscrire un carré

Ludwig

On se donne un quadrant de cercle $OAB$ et un point $M$ sur la médiatrice de $[AB]$. Inscrire dans le secteur $AMB$ un carré $PQRS$ dont l'un des côtés soit parallèle à $(OM)$.

(extension du problème page 86 du Journal de Mathématiques élémentaires, publié par Gohierre de Longchamps en 1897).

Vassillia

Bonjour, et voilà, $A$, $B$ sont mobiles sur le cercle (ce n'est pas drôle de se limiter à un quadrant) et $M$ mobile sur la médiatrice

 https://www.geogebra.org/classic/mzphbf5f

J'ai un peu galéré à cause des signes donc pas mal de conditions sous jacentes dans la partie algèbre mais c'est le jeu !

depasse

Dans le même genre, $ABC$ triangle. Construire $M$ sur $(AB)$ et $N$ sur $(AC)$ de façon que $BM=MN=NC$

Rescassol

Bonjour,

Enlever l'extension txt du fichier Géogébra ci-joint.
On peut bouger $P$ et/ou $M$. Si $P=P_1$ ou si $M=M_1$, on a un carré.

Cordialement,
Rescasssol

Ludwig

Oui merci, en effet les calculs ne sont pas très compliqués. Mais en fait j'attendais une construction à la règle et au compas. On peut inclure le secteur opposé, ce qui fait qu'il y a deux carrés.

Ludwig

Une construction en utilisant une ellipse annexe, celle d'équation $x² - 4x y + 5y² - 1 = 0$ :

(j'ai pris le cercle trigonométrique au départ)

Ludwig

Ah mais bien sûr ! Il y a une solution toute simple, sans aucun calcul !! Vous l'avez ?

marco

On construit un carré $R'Q'P'S'$ tel que $R' \in (MA)$, $S' \in (MB)$ et $(R'S')$ perpendiculaire à $(MO)$ puis on trace la droite $(MQ')$, l'intersection avec le quadrant de cercle est $Q$. De même, pour $P$.

Ludwig

Exactement. Et autant partir de $A$ et $B$ pour le premier carré :

marco

J'aurais du dire le "cercle" plutôt que le "quadrant de cercle".