Norme d'une matrice symétrique

Hypocrates

Peut-on avoir une norme pour les matrices symétriques en prenant la norme du polynôme caractéristique de la matrice moins $X^n$ ?

MrJ

A priori, je ne vois pas pourquoi une telle application serait homogène. Par exemple, pour $n=2$, on aurait avec ta définition que

$$N:\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} \mapsto \|-(a+c)X + ac - b^2\|$$

où $\|\cdot\|$ est une norme sur $\C_1[X]$.

Édit : correction d’une coquille.

Paul Broussous

Et puis la norme serait nulle sur des vecteurs non nuls (les matrices nilpotentes).

Edit : je n'avais pas vu l'hypothèse de symétrie, merci math2.

Hypocrates

Je pense à des normes données par le max des valeurs absolues des valeurs propres de la matrice et des racines du polynôme.

MrJ

Ton second message ne me paraît pas cohérent avec le premier.

De plus, le maximum du module des racines d’un polynôme n’est pas une norme : presque aucune propriété de la norme n’est vérifiée par une telle application.

math2

Cher Paul, tu connais des matrices symétriques réelles nilpotentes et non nulles ???

L'hypothèse symétrique me fait penser que l'énoncé est plutôt dans le monde des réels, sans quoi j'aurais plutôt lu autoadjoint.

gebrane

Effacé