Formule sur le rayon du cercle inscrit

Yannguyen

Bonjour,

Je suis à la recherche d'une équation (du second degré ?) reliant les longueurs des côtés d'un triangle rectangle au rayon du son cercle inscrit...

Merci de toute information à ce sujet !

Cordialement,

Yann

Bouzar

Bonjour,

$2r=a+b-c$ où $c$ est la longueur de l'hypoténuse.

Cordialement

GaBuZoMeu

Bonjour ,

$$\frac{\left(\frac{r}{a}+\frac{r}{b}-1\right)^2}{\frac1{a^2}+\frac1{b^2}}=r^2\;.$$

Yannguyen

Merci chers Bouzar et  GaBuZoMeu,

Je vais regarder !

Auriez-vous une référence ?

Yann

JLT

Avec $S=pr$ on obtient $ab=(a+b+\sqrt{a^2+b^2})r$.

jelobreuil

Bonjour Yann, Bonjour à tous,

Une formule connue, dans le cas général, avec $S$ l'aire du triangle et $p$ le demi-périmètre : $r = S/p$

Si le triangle est rectangle en $A$, $a$ représente l'hypoténuse et $b$ et $c$ représentent les cathètes, et l'on a $S = b.c/2$, d'où $r = b.c/(a+b+c)$.

Une autre formule connue, toujours dans le cas général : $a² + b² + c² = 2p² - 2r² - 8Rr$, donne dans le cas d'un triangle rectangle en $A$, donc dans lequel le rayon du cercle circonscrit $R$ vaut $a/2$ : $b² + c² = p² - r² - 2a.r$, soit $r² + 2a.r + a² = p²$, ce qui donne finalement $r = p - a = (b + c - a)/2$ (edit : d'accord avec @Bouzar ...)

Sauf erreur de ma part ...

Bien cordialement, Jean-Louis B.

Edit : Références de ces deux formules connues : formules N° 4 et 9 dans "Relations entre les éléments d'un triangle", ouvrage anonyme édité par Vuibert (cinquième édition, 1933)

JLT

Les deux formules données sont les mêmes bien sûr car $\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{ab(a+b-\sqrt{a^2+b^2})}{(a+b)^2-(a^2+b^2)}=\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.

GaBuZoMeu

Je pense qu'il n'y a pas besoin de référence pour savoir écrire que la distance du point $(r,r)$ à l'hypothénuse $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ est $r$. En prime, le rayon du cercle exinscrit dans l'angle droit.

gipsyc

Bonjour,

Pourquoi faire compliqué quand un schéma (quart de cercle dans un carré) donne la solution:
p étant le semi-périmètre

r = IF = AF = AE = p - a ... comme déjà signalé

Cordialement, 

Jean-Pol Coulon