Une construction du point de Feuerbach

Bouzar

Bonjour,

1 - $ABC$ est un triangle,

2 - $I$ est le centre du cercle inscrit de $ABC$,

3 - $O$ est le centre du cercle circonscrit de $ABC$,

4 - $D =\mathcal{C}  \cap BI$ où $\mathcal{C}$ est le cercle de diamètre $[AI]$,

5 - $E =\mathcal{C}  \cap CI$,

6 - $F =\mathcal{C}  \cap IO$,

7 - $F'$ est le symétrique de $F$ par rapport à la droite $DE$.

Question : Montrer que $F'$ est le point de Feuerbach du triangle $ABC.$

Source : David Nguyen

Amicalement

RHOM

Salut à tous

Indications: soient $M,N$ les milieux de$ AB,AC$; $A'$ pied de $A$ sur $OI$;

montrer que $ED$ est la $A$-midligne $MN$ et que  $Fe$, l'orthopole de $OI$   (point de Feuerbach ) est le symétrique de $A'$     par rapport à $MN$.  

Si nécessaire je présenterai la preuve complète ultérieurement.

cordialement

RH HAS

Rescassol

Bonsoir,

% Bouzar - 28 Novembre 2024 - Une construction du point de Feuerbach

clear all, clc

syms a b c real

% Notations de Conway
Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC

%-----------------------------------------------------------------------

I=[a; b; c]; O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
BI=[c, 0, -a]; CI=[b, -a, 0];
OI=SimplifieBary(Wedge(O,I));
% On trouve OI=[b*c*(b-c)*(b-a+c), -a*c*(a-c)*(a-b+c), a*b*(a-b)*(a+b-c)]

D=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(A,BI,a,b,c)); % D=[a; a-c; c]
E=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(A,CI,a,b,c)); % E=[a; b; a-b]
F=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(A,OI,a,b,c));  

DE=SimplifieBary(Wedge(D,E)); % DE=[1, -1, -1]
Fp=SimplifieBary(SymetriqueOrthogonalBary(F,DE,a,b,c))
% On trouve Fp=[(b-c)^2*(b-a+c); (a-c)^2*(a-b+c); (a-b)^2*(a+b-c)]
% On reconnaît le point de Feuerbach du triangle ABC
% On reconnaît également que (DE) est la droite joignant les milieux
% des côtés [AB] et [AC]

Cordialement,
Rescassol

stfj

Bonjour

Les calculs de Rescassol montrent en effet qu'il suffit de (avec les notations de la figure)

- construire la droite $d_1=B'C'$ des milieux;

- construire le projeté orthogonal $F$ de $A$ sur $d_2=OI$;

- construire le symétrique orthogonal $Fe$ de $F$ par rapport à $d_1$.

https://www.geogebra.org/classic/pcdnzuk8

Cordialement

Bouzar

Bonjour,

Merci à RHOM, Rescassol et stfj pour vos contributions.

Amicalement

Jean-Louis Ayme

Bonjour,

très bonne observation RHOM : il ya du Modeste Soons, Georges Fontené et bien Karl Feuerbach...

Sincèrement
Jean-Louis