règle vs compas

lesmathspointclaires

On peut construire tous les points constructibles à la règle et au compas avec le compas tout seul (c'est bien connu). Pour ce qui est de construire des points, le compas rend la règle superflue. 
D'un autre côté, peut-on construire avec la règle non graduée tous les points constructibles à la règle et au compas, à homographie près ?

Georges Abitbol

Précise un peu ta question… Qu’est-ce que ça veut dire, à homographie près ?

Math Coss

Je ne comprends pas la phrase précédente : tout ce qu'on peut faire avec le compas seul, on peut le faire avec le compas et la règle (quitte à laisser la règle dans la poche). Que veux-tu dire ? Qu'on peut construire avec le compas seul ce qu'on peut construire avec la règle seule ?

lesmathspointclaires

@Math Coss je ne sais pas quelle phrase tu n'as pas comprise... En premier je rappelle que tout les points constructibles à la règle et au compas sont constructibles au compas seul 
La réciproque est fausse mais, je crois que si un cercle et son centre sont donnés, on peut tout construire à la règle, ce qui est une sorte de réciproque.
Même chose avec une ellipse et son centre, mais cette fois, c'est "à transformation affine près" (celle qui envoie l'ellipse sur le cercle)
Je pensais (à tort) pouvoir espérer faire la même chose avec un triangle, mais je viens de me rendre compte que c'est impossible. 

Car quatre points  en position générale du plan projectif réel engendre le plan projectif rationnel à homographie près (i.e. il existe une homographie telle que tout point constructible à partir de ces quatre sont envoyés sur un point du plan projectif rationnel inclus dans le plan projectif réel). Cinq points en position générale engendrent ou bien le plan projectif sur  $Q(x,y)$ (avec $x$ et $y$ transcendants) , si on prend un des cinq points alignés avec deux des quatre autres, il engendre presque surement $Q(x)$, pour un  $x$ transcendant. Et plus généralement, tout ensemble de droite tracée avec la règle non graduée est presque surement le plan projectif sur une extension  de $Q$ ne contenant aucun algébrique non rationnel (j'ai un doute sur "est-ce évident?" mais je ne vais pas réfléchir sinon je risque d'avoir un doute du type "est-ce vrai?" (oui c'est de l'humour), donc la réponse est non, sous réserve de confirmation.

lesmathspointclaires

Pardon @Georges Abitbol je n'avais pas vu ton commentaire. Je reformule la question (dont la réponse il me semble est non) de façon plus précise. Soit $n$ un entier et soit un ensemble de $n$ points du plan affine euclidien augmenté d'une droite à l'infini tel qu'aucun point n'est constructible au compas à partir des autres et soit $C$ l'ensemble des points qu'on peut construire à partir de ces points, juste avec la règle non graduée. Existe-t-il une homographie réelle $h$ telle que $h(C)$ contient tous les points du plan constructibles au compas à partir des points à coordonnées rationnelles. Désolé d'avoir laissé stagner ce problème sans préciser rapidement qu'il est en fait inintéressant, je vais tenter de le rendre intéressant en rajoutant des contraintes.

bd2017

Je ne comprends rien, rationnellement et projectivement. Et réciproquement, suis je le seul?

Georges Abitbol

Je n’ai pas compris non plus.

raoul.S

J'avoue m'être arrêté de lire après cette phrase : 

lesmathspointclaires a dit :

En premier je rappelle que tout les points constructibles à la règle et au compas sont constructibles au compas seul 
La réciproque est fausse mais...

Pour moi la réciproque de la première phrase c'est : tous les points constructibles au compas seul sont constructibles à la règle et au compas, ce qui est trivialement vrai...

Mais j'imagine qu'il faut comprendre plutôt que l'affirmation suivante est fausse :  tous les points constructibles à la règle seule sont constructibles à la règle et au compas. 

PS : voir théorème de Poncelet-Steiner

depasse

J'entends la question de @lesmathspointclaires comme:
je suis trop pauvre pour me payer un compas, mais on m'a offert un homograhe. Avec lui et ma règle, puis-je faire aussi bien qu'avec un compas et ma règle?

lesmathspointclaires

Oui c'est vrai, c'est pas du tout la réciproque hahaha, je comprends mieux l'incompréhension de @Math Coss, pardon je suis confus (c'est le cas de le dire!)

Mathurin

Ce genre de question est étudié par Jean-Claude Carrega "théorie des corps - la règle et le compas" Hermann 2001
extraits ci-joint

lesmathspointclaires

@Mathurin : Merci beaucoup pour cette référence !