Intégration plan complexe

artjozp

Bonsoir à toutes et tous,

voici mon énoncé: 

Pour tout k∈Z définissons
$\Gamma_{k}$={$\gamma_{k}$(t)=texp(ι2πkt)∣t∈[0;1]}

Calculer l'intégrale $I_{k}$=$\int \frac{1}{(z-2)^2} dz$ sur $\Gamma_{k}$ en fonction de k.

J'ai essayé Cauchy, Jordan, et Résidus mais je n'y arrive pas
Pourriez-vous m'aider svp ? 

JLapin

Tu as fais un dessin de ton arc $\Gamma_k$ et du pôle $2$ de ta fonction ?

artjozp

Oui j'en ai tracé quelques-uns (de k = -2 à k = 2) et c'est un peu "spirale infernale", en tous cas aucun contour n'est jamais inquiété par le pôle 2

JLapin

Est-ce que $2$ appartient à ta spirale ? N'as-tu pas un théorème à disposition ?

Penses-tu savoir "primitiver" $\dfrac{1}{z-2}$ par rapport à $z$ ?

Penses-tu savoir "primitiver" $\dfrac{1}{(z-2)^2}$ par rapport à $z$ ?

gebrane

Si \( f \) est holomorphe dans un domaine \( D \subset \mathbb{C} \) et possède une primitive \( F \) dans \( D \) (c'est-à-dire une fonction holomorphe \( F : D \to \mathbb{C} \) telle que \( F' = f \)), alors :

\[\int_\gamma f(z) \, dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\]

pour toute courbe \(\gamma : [a, b] \to D\). 

Dans votre cas, $ f(z) = (z-2)^{-2} $ admet pour primitive $ F(z) = -\frac{1}{z-2} $ dans \( D = \mathbb{C} \setminus \{2\} \). Tes  courbes \(\gamma_k : [0, 1] \to \mathbb{C}\)  sont  dans \(D\)  ( à ta charge) . Apres j'ai la flemme d'expliquer plus