Exercice séries et intégrale

Yanel

Je veux montrer cette égalité, mais je suis bloqué. Merci

\[\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n (t)^{\sqrt {n}-\frac{1}{2}}\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{+\infty}   \frac{(-1)^n}{\sqrt {n}+\frac{1}{2}}\]

YvesM

Bonjour,
L'écriture de l'intégrale est incomplète. Ne manque t'il pas $dt$ ? Peut-on inverser la somme et l'intégrale ?

Yanel

J'avais justement essayé d'appliquer le critère d'inversion, mais malheureusement, cela n'avait rien donné. 

gebrane

Qui peut m'aider à résoudre cet exercice ?

Je veux bien mais le résultat est faux

Yanel

@gebraneComment expliques-tu que le résultat soit faux ? 

gebrane

Si je ne suis pas dans le faux, il me semble que $$\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{\sqrt{n} - \frac{1}{2}} \, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + \frac 12},$$

lourrran

2 sommes $\Sigma{f(n)}$ et $\Sigma{g(n)}$ sont égales si pour tout $n$,$f(n)=g(n)$, c'est une condition suffisante.
Mais 2 sommes peuvent être aussi égales par un 'coup de chance', sans que l'on ait $f(n)=g(n)$ pour tout $n$

Ici, a-t-on cette condition suffisante ? non.
A-t-on ce 'coup de chance' ? C'est moins clair, mais je n'ai pas l'impression non plus. 

JLapin

Yanel a dit :

J'avais justement essayé d'appliquer le critère d'inversion, mais malheureusement, cela n'avait rien donné. 

Tu pourrais appliquer le théorème de convergence dominée à la suite des restes (ou à la suite des sommes partielles, ça revient au même).

Et oui, ton énoncé est faux. Tu peux le voir facilement en calculant pour $n\in\N$ fixé l'intégrale $\int_0^1 t^{\sqrt{n}-1/2} dt$, puisqu'il s'agit manifestement d'un exercice basique d'interversion série-intégrale en utilisant le théorème de convergence dominée.

D'où vient-il ?

Yanel

@gebrane Au lieu d'écrire $\frac{1}{2}$, j'ai écrit 1

gebrane

Si le niveau est L1, il te faut un résultat de convergence uniforme pour intervertir série/intégrale

Yanel

@gebrane
Mon problème est que cette inégalité n'est pas vérifiée. 

jean lismonde

Bonsoir Yanel

ton identité me semble correcte :
il convient de déterminer le premier membre sous forme de série numérique
qui va coïncider avec celle du second membre qui est de signe alterné et convergente

le premier membre s'écrit
$\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{t}}[1-t+t^{\sqrt{2}}-t^{\sqrt{3}}+.....]$ et après intégration de 0 à 1 il vient

$\frac{1}{\sqrt{0}+1/2}-\frac{1}{\sqrt{1}+1/2}+\frac{1}{\sqrt{2}+1/2}-\frac{1}{\sqrt{3}+1/2}+.....$
qui est justement la série du second membre

on peut avec une calculatrice déterminer la limite de cette série numérique soit : 1,751169...
qui apparemment n'est pas une constante classique

Cordialement

JLapin

jean lismonde a dit :

 et après intégration de 0 à 1 il vient

Les intégrations de $0$ à $1$ de sommes infinies doivent être justifiées, par exemple, en montrant que l'intégrale sur $[0,1]$ de la suite des restes converge vers $0$.

Ce n'est pas si dur si on majore la suite des restes en valeur absolues par le critère des séries alternées pour en déduire par croissance de l'intégrale une majoration de $\int_0^1 |R_n(t)|$ puis une majoration de $|\int_0^1 R_n(t)dt|$ par une suite qui tend vers $0$.

Evidemment, si l'OP dispose du théorème de convergence dominée, ça va plus vite. D'ailleurs, s'il dispose du théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque (ce qui semble sous-entendu par son dernier message), il est probable que le TCD soit aussi dans sa boîte à outils.

gebrane

Yanel a dit :

@gebrane
Mon problème est que cette inégalité n'est pas vérifiée. 

Est ce que tu as cette version dans ton cours proposition2.4.1 https://wiki.randaldouc.xyz/lib/exe/fetch.php?media=world:polymaths.pdf

Yanel

Que pensez-vous de ma solution.

Yanel

@gebrane @JLapin

JLapin

Il y a pas mal d'erreurs ici ou là, plus ou moins graves.

Tu devrais lire plus attentivement mes messages. J'ai fait deux propositions de résolutions et tu n'utilises manifestement aucune des deux idées.

gebrane

Tu es méchant Jlapin avec Yann 
Il a fourni des efforts  pour gagner une convergence uniforme sur $[0,\epsilon]$ et puis passer à la limite, puisque je n'ai pas le temps pour le moment pour bien regarder je ne peux juger si sa Facon est récupérable ou non. Tu peux lui expliquer ta façons avec le TCD avec les sommes partielles de préférence 

Yanel

Je voudrais savoir les erreurs que j'ai commises. 

Yanel

Pas de réponses. 

gebrane

J'avais un temps et j'ai regardé

Je résume ta preuve : tu as démontré que la suite des sommes partielles $$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} $$ converge uniformément sur $[0, a]$ pour tout $0 < a < 1$, en montrant que la suite des restes partiels tend vers $0$ uniformément. Ensuite, tu as conclu que : 

$$ \int_0^a \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} \right) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \int_0^a (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} dt = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{a^{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}}{\sqrt{k} + \frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} f_k(a). $$

Ensuite, en démontrant la convergence uniformesur $I = [0, 1[$  des restes partiels vers $0$, tu as gagné que la suite des sommes partielles $$ \sum_{k=0}^{n} f_k(a) $$ converge uniformément sur $I = [0, 1[$. Puis, tu as utilisé un théorème d'inversion limite/série par exemple https://uel.unisciel.fr/mathematiques/suites_fonctions/suites_fonctions_ch02/co/apprendre_ch2_04.html  pour passer à la limite lorsque $a$ tend vers $1^-$ et tu as conclu : 

$$ \lim_{a \to 1^-} \sum_{k=0}^{+\infty} f_k(a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}. $$

En déduisant ensuite que : $$ \lim_{a \to 1^-} \int_0^a \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} \right) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}, $$ 

tu arrives finalement à : $$ \int_0^1 \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} \right) dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}. $$

C'est zoli

JLapin

@Yanel

La convergence uniforme sur les segments $[0,\varepsilon]$ n'implique pas la convergence uniforme sur $[0,1[$.

gebrane

Yanel,  puisque Jlapin est occupé,  je t'explique comment utiliser le Théorème de Convergence Dominée (TCD), car c'est une méthode plus économique.

1. Tu as vu que la série $$\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}}$$ converge simplement sur $[0, 1[$ (et donc presque partout sur $[0, 1]$) grâce au critère spécial des séries alternées.  

2. Ensuite, tu montres que $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad \left| \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{\sqrt{k} - \frac{1}{2}} \right| \leq g(x), \quad \forall x \in ]0, 1[,$$ où $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$, qui est intégrable sur $[0, 1]$.  ( edit une coquille, remplacer $x$ par $t$)

gebrane

Il a démontré que la suite de fonctions 
$$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{x^{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}}{\sqrt{k} + \frac{1}{2}}$$ converge uniformément sur [0,1] ( en passant par le reste) ce qui sauve son raisonnement ( je n'ai pas insisté sur ces fautes et coquilles de rédaction mais sur l'idée principale)

gebrane

En fin de compte, es-tu convaincu Jlapin que sa méthode, améliorée par mes soins  , fonctionne ou non ?

JLapin

Oui

gebrane

Merci l'ami