Classe d'équivalence fractions rationnelles

OShine

Bonsoir,

Je revois le cours sur les fractions rationnelles pour solidifier mes connaissances.
Je n'ai pas compris la dernière remarque.
Comment on vérifie qu'on peut munir l'ensemble des classes de lois d'addition et de multiplication ?
J'ai vérifié, cette remarque n'était pas dans l'ancienne version du tout en un dunod MPSI. Elle est nouvelle.

GaBuZoMeu

Bonsoir,

C'est exactement comme la définition des rationnels comme classes d'équivalences d'éléments de $\mathbb Z\times \mathbb Z ^\times$ : $\dfrac p q $ est la classe d'équivalence de $(p,q)$.

Heuristique

Il suffit notamment vérifier que la somme ou le produit de 2 classes ne dépend pas des représentants choisis.

OShine

Heuristique a dit :

Il suffit notamment vérifier que la somme ou le produit de 2 classes ne dépend pas des représentants choisis.

Merci je peux vérifier ça mais je ne comprends pas pourquoi il suffit de vérifier cela.

OShine

Comment on fait la somme ou le produit de 2 classes d'équivalence ?
Les classes sont des ensembles.

bd2017

Comme tu le fais avec tes élèves! 

Soient deux fraction $a/b$ et $c/d.$  Par définition on pose  $a/b+ c/d= (ad+ bc)/(bd) $

Mais si $a/b=a_1/b_1$ et   $c/d=c_1/d_1$ il faut s'assurer que la définition ne dépendent pas des représentants de chaque fraction.  

C'est à dire qu'il faut avoir  $$ (ad+ bc)/(bd)= (a_1d_1+ b_1c_1)/(b_1d_1) $$

Plus généralement on définit la somme de 2 classes comme ceci:

  $$cl(c_1)+cl(c_2)= cl(c_1+c_2).$$ 

Mais pour que cette somme ait un sens, il faut que la définition ne dépende pas de $c_1$ ni de $c_2$  (i.e ne dépende pas des représentants de chaque classe). 

 

gerard0

C'est dit dans ton texte...

biguine_equation

Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, je note $\overline{a}$ la classe d’équivalence de $a \in \mathbb{Z}$.
Si je prends n’importe quel élément de la classe d’équivalence de $a$ et que je l’ajoute à n’importe quel élément de la classe d’équivalence de $b$, le résultat est toujours un élément de la classe d’équivalence de $a+b$.
Le résultat ne dépend pas du choix des représentants, ce qui est heureux puisqu’il y a une infinité de représentants dans chaque classe d’équivalence modulo $n$. Ça serait un vrai foutoir si l’addition des classes d’équivalence n’était pas bien définie.

OShine

D'accord merci, je vais m'inspirer de la preuve sur $\Z / n \Z$.

OShine

J'ai réussi finalement, ce sont des petits calculs assez simples.
C'est long à écrire et rédiger mais rien de compliqué.

Thierry Poma

@OShine : bonjour. Comme tu tournes en rond, je te propose ce texte de Mathieu Mansuy.

philou22

@OShine Petit conseil pédagogique, vu ton questionnement je pense que c’est le bon moment pour que tu étudies en profondeur la notion de sous groupes distingués.

OShine

@philou22
Je connais cette notion mais c'est vrai que je devrais l'entretenir en refaisant des exos dessus.

@Thierry Poma
Merci.

philou22

@OShine J’ai l’impression que tu aimes faire beaucoup d’exercices, ce qui serait très pertinent pour un candidat aux concours des grandes écoles mais il me semble que tu es un adulte professeur certifié de mathématiques. Tu devrais essayer de prendre du recul sur ta connaissance de la mathématique. Le fait que tu ai remarqué que faire des opérations sur des ensembles est différent de le faire sur leurs éléments est clairement la marque d’un questionnement mathématique. En fait, c’est l’essence même des mathématiques que tu as pointé. Je pense que la compréhension approfondie de la construction mathématique actuellement accessible relativement facilement pourrait t’apporter davantage de plaisir que la la satisfaction d’avoir résolu un exercice dans un cadre bien défini.

OShine

@philou22
Merci pour ton conseil, en effet, il y a quelques années je n'aurais pas remarqué ce détail.