Ensemble de mesure nulle

Hypocrates

Si $f$ est une application mesurable de $X$ et $\forall U$ mesurable $f(U) \subset U$ et $0< mes(f(U))<mes(U)$ alors $mes(\bigcap_n f^n (X))=0$.

Math Coss

L'hypothèse que $f$ est mesurable ne garantit pas que l'image d'un ensemble mesurable l'est.
Ton hypothèse avec $U=\emptyset$ me semble conduire à une contradiction mais c'est peu clairement exprimé. 

gerard0

Bonsoir.

la condition $f(U) \subset U$ pour tout mesurable $U$ semble assez drastique. Si les atomes de $X$ sont mesurables alors f est l'application identique ($\{f(x)\}=f(\{x\})\subset \{x\}$) et la deuxième condition ne peut exister.

Donc l'espace mesuré $(X, \Omega)$ doit être assez particulier. Ne manquerait-il pas des informations ?

Hypocrates

Je rectifie $f$ telle que l'image d'un mesurable est mesurable dans l'énoncé et $U$ de mesure non nulle.