convergence

Gabriel_04

Si $(X_n)_{n}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, uniformément réparties sur $[0,1]$, alors

$$\frac{n}{X_1 + \ldots + X_n} \xrightarrow[n \to \infty]{\text{p.s.}} \frac{1}{\mathbb{E}[X_1]}.$$

Poirot

C'est une question ? Si on passe à l'inverse ça fait fortement penser à quelque chose...

Gabriel_04

Poirot a dit :

C'est une question ? Si on passe à l'inverse ça fait fortement penser à quelque chose...

Si \( X_n \to X \) presque sûrement, alors \( f(X_n) \to f(X) \) pour toute fonction mesurable \( f \)? Mon problème est que \( \frac{1}{x} \) n'est pas continue en zéro. Nous aurions besoin que \( \mathbb{P}(X_1 + \dots + X_n = 0) = 0 \). Mais \( \mathbb{P}(X = a) = 0 \) pour toute variable aléatoire continue. Ainsi, pour que le résultat précédent soit valide, nous aurions besoin que \( \mathbb{P}(X_i = 0) = 0 \) pour tout \( i \). Nous obtenons alors le résultat souhaité. Est-ce correct ?

Poirot

Tu n'as jamais vu d'énoncé donnant $$\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{\text{p.s.}} \mathbb{E}[X_1]$$ ?

Gabriel_04

Poirot a dit :

Tu n'as jamais vu d'énoncé donnant $$\frac{X_1 + \ldots + X_n}{n} \xrightarrow[n \to \infty]{\text{p.s.}} \mathbb{E}[X_1]$$ ?

Je connais le résultat. J'ai modifié ma réponse avec ce qui me préoccupe sur la continuité de la fonction à laquelle nous passons.

JLapin

Pour notre part, nous ne comprenons pas bien les hypothèses faites sur les variables aléatoires $X_k$.

Que signifie "uniformément réparties sur $[0,1]$" en fait ?

Gabriel_04

JLapin a dit :

Pour notre part, nous ne comprenons pas bien les hypothèses faites sur les variables aléatoires $X_k$.

Que signifie "uniformément réparties sur $[0,1]$" en fait ?

$f_{X_i}(x)=\mathbf{1}_{[0,1]}(x)$, i.e., $X_i\sim\mathcal{U}([0,1])$

Poirot

Mais si les $X_i$ sont uniformes sur $[0, 1]$ leur espérance ne vaut pas zéro, il n'y a donc aucun problème à passer à l'inverse dans cette convergence presque sûre.

GaBuZoMeu

Bonjour,

Prenons les choses de façon terre à terre. Les variables aléatoires $X_i : \Omega \to [0,1]$ sont i.i.d., de loi uniforme sur $[0,1]$. Posons $S_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$ pour $n\geq 1$. La loi forte des grands nombres nous dit que l'ensemble des $\omega\in \Omega$ tels que la suite $(S_n(\omega))_{n\geq 1}$ tend vers $1/2$ est de mesure pleine. L'ensemble des $\omega$ tels que $S_n(\omega)=0$ est de mesure nulle, donc l'ensemble des $\omega$ tels que $S_n(\omega)\neq 0$ pour tout $n\geq 1$ est de mesure pleine.

On en déduit que l'ensemble des $\omega$ tels que la suite $(1/S_n(\omega))_{n\geq 1}$ est bien définie et converge vers $2$ est de mesure pleine : Autrement dit, on a bien convergence presque sûre vers $2$.

P.S. Il y aurait un os si les $X_i$ étaient des variables de Bernoulli. Mais on aurait tout de même que l'ensemble des $\omega$ tels que la suite $(1/S_n(\omega))_{n\geq 1}$ est bien définie à partir d'un certain rang et converge vers $1/p$ est de mesure pleine.

Gabriel_04

GaBuZoMeu a dit :

Bonjour,

Prenons les choses de façon terre à terre. Les variables aléatoires $X_i : \Omega \to [0,1]$ sont i.i.d., de loi uniforme sur $[0,1]$. Posons $S_n=(X_1+\cdots+X_n)/n$ pour $n\geq 1$. La loi forte des grands nombres nous dit que l'ensemble des $\omega\in \Omega$ tels que la suite $(S_n(\omega))_{n\geq 1}$ tend vers $1/2$ est de mesure pleine. L'ensemble des $\omega$ tels que $S_n(\omega)=0$ est de mesure nulle, donc l'ensemble des $\omega$ tels que $S_n(\omega)\neq 0$ pour tout $n\geq 1$ est de mesure pleine.

On en déduit que l'ensemble des $\omega$ tels que la suite $(1/S_n(\omega))_{n\geq 1}$ est bien définie et converge vers $2$ est de mesure pleine : Autrement dit, on a bien convergence presque sûre vers $2$.

P.S. Il y aurait un os si les $X_i$ étaient des variables de Bernoulli. Mais on aurait tout de même que l'ensemble des $\omega$ tels que la suite $(1/S_n(\omega))_{n\geq 1}$ est bien définie à partir d'un certain rang et converge vers $1/p$ est de mesure pleine.

Merci beaucoup!