Calendrier de L’Avent III

gebrane

Je n'ai pas le temps pour creuser, la fonction g definie par g(x)=f(-x) est CM et on peut tenter d'appliquer le jour de mon papa Jhon
edit avec les mêmes arguments on démontre que $g(x)=e^{-x}$ et donc f=exp

biguine_equation

Il n’y a personne pour le 23 ?
Ce n’est pas que je sois superstitieux mais je préférerais ne pas rester sur le vendredi 13. 
J’ai un petit exercice un peu « exotique » et marrant sur $e$.

gebrane

Il est souhaitable que les instigateurs des questions du jour participent également à l'animation de ce fil en apportant des réponses aux questions du jours des autres.

Bibix

Moi aussi, il me reste un autre exercice (en plus de celui du J30). Je peux le mettre quand vous voulez (je pensais le partager à la fin en bonus).

Philippe Malot

Bonsoir @biguine_equation et @Bibix !
Je vous ai rajoutés le 23 et le 24.
Au fait, un calendrier de l'Avent doit s'arrêter le 24 il me semble ?

JLapin

Plutôt le 25 en fait

Philippe Malot

Au fait, je me rends compte que le problème que j'ai posté ressemble beaucoup à celui de @john_john ! 
Je n'avais même pas fait attention.

biguine_equation

Merci Philippe !

biguine_equation

Soit $x>0$. On définit 
\begin{equation}
S_0(x)=x, \:\:\: S_1(x)=x^x, \:\:\: S_2(x)=x^{x^{x}}, …
\end{equation}
On obtient 
\begin{equation}
\displaystyle S_n(x)=x^{x^{x^{.^{.^{.^{x}}}}}}
\end{equation}
après $n$ itérations.
Étudier le comportement de la suite réelle $\{S_n\}$.
Montrer que 
$$S_n(e^{1/e}) \to e \:\:\:\text{quand}\:\:\: n \to \infty$$

Namiswan

J'ai raté moi aussi que John_john  avait posé essentiellement le même exo que Philippe Malot. Et j'ai effectivement pensé comme Gebrane au théorème de Bernstein+Cauchy-Scharz pour conclure. Je ne connaissais que la version avec sinus. Je cherche maintenant une preuve sans le théo de Bernstein, à l'instar de la preuve RMS de la caractérisation de sinus (je pense être en bonne voie...ou pas) 

john_john

Quelques généralités sur l'exercice d'aujourd'hui ; je ne sais pas si j'aurai  le temps de rédiger la solution car la journée s'annonce chargée (préparation d'un cassoulet et ce n'est pas notre ami Chaurien qui dira qu'on le prépare en claquant des doigts .

Il s'agit essentiellement d'étudier la suite récurrente $u_1=a, u_{n+1}=a^{u_n}$ ; cela passe par l'étude de la monotonie de $x>0\longmapsto a^x$ et celle du signe de $a^x-x$ : cette dernière étude requiert du soin car il y a moult sous-cas, selon la position de $a$ par rapport à ${\rm e}^{-{\rm e}},1$ et ${\rm e}^{1/\rm e}$ et en particulier les cas d'égalité de $a$ avec une de ces valeurs. D'ailleurs, si $a={\rm e}^{-{\rm e}}$, alors $u_n\to1/{\rm e}$.

biguine_equation

Pour l’exercice 13a: il y a plusieurs possibilités pour estimer l’erreur $e-(1+\frac{1}{n})^n$.
On peut développer pour $\vert x \vert <1$:
\begin{equation}
(1+x)^{1/x}=e^{1/x\log(1+x)}\\
=\exp\Big(\frac{1}{x}\Big(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…\Big)\Big)=\exp\Big(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{3}-…\Big)\\
=ee^{-x/2}e^{-x^2/3}…\\
=e\Big(1-\frac{x}{2}+\frac{1}{2!}\Big(\frac{x}{2}\Big)^2-…\Big)\Big(1-\frac{x^2}{3}+\frac{1}{2!}\Big(\frac{x^2}{3}\Big)^2-…\Big)\\
=e\Big(1-\frac{x}{2}+\frac{11}{24}x^2-…\Big)
\end{equation}
En posant $x=\frac{1}{n}$, on a $(1+\frac{1}{n})^n=1-\frac{1}{2n}+\frac{11}{24n^2}-…$ et on écrit la différence 
\begin{equation}
e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n=\frac{e}{2n}+\mathcal{O}\Big(\frac{1}{n^2}\Big)
\end{equation}
pour $n$ grand.

Namiswan

Les détails pour aujourd'hui (cas particulier assez simple à traiter par rapport au cas général évoqué par John_john)

On étudie la suite définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $u_0=e^{\frac{1}{e}}$, $f(t)=e^{\frac{t}{e}}$. La fonction $f$ est croissante, laisse invariant $[0,e]$, qui contient $u_0$. Donc $(u_n)$ converge vers un point fixe de $f$. Or $f(e)=e$ donc $e$ et point fixe, et si $t<e$, $f'(t)=e^{\frac{t}{e}-1}<1$, donc il n'y a pas d'autres points fixes. Donc $u_n\to e$.

Rescassol

Bonjour,

John_John, Miam, $\dfrac{é}{k}$, tu invites ?

Cordialement,
Rescassol

john_john

Bonjour, Rescassol,
k sous l'é ? Il y aura table ouverte

gebrane

etanche a dit :

Les hypothèses donnent que f est développable en série entière sur $\R $

Comment tu le démontres étanche ?

john_john

Jour XXIII, presque exhaustif

Je prends $a$ comme paramètre pour former la suite et non pas $x$, réservé à la variable dans l'étude des fonctions auxiliaires : la suite sera plutôt $a,a^a,a^{a^a},\dots$ ; soit alors la fonction $\varphi$ telle que $\varphi(x)=x\ln a-\ln x$ pour $x>0$ (elle sert à comparer $u_n$ et $u_{n+1}$.

Si $a>1$, $\varphi$ croît jusqu'à $x=1/\ln a$ puis décroît.

Si $a>{\rm e}^{1/{\rm e}}$, $a^x=x$ n'a pas de solution et, comme $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$, la limite est $+\infty$.

Si $a={\rm e}^{1/{\rm e}}$, $a^x=x$ a pour seule solution ${\rm e}$ et, comme ${\rm e}\geqslant u_{n+1}\geqslant u_n$ pour tout $n$, la limite est ${\rm e}$, seule limite possible.

Si $1<a<{\rm e}^{1/{\rm e}}$, $a^x=x$ a deux solutions $\ell_1<\ell_2$ car notamment $\varphi(1/\ln a)<0$ ; or, $\varphi(a)=(a-1)\ln a$ et $a<1/\ln a$ (étude de fonction) et donc $a\leqslant\ell_1$. Alors $u_n\longrightarrow\ell_1$.

Si $a=1$, la suite est constante.

Si $0<a<1$, la fonction $x\longmapsto a^x$ décroît et donc $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones, de monotonies opposées $a^x=x$ a une seule solution $\ell$ mais ce point fixe est répulsif pour $a<{\rm e}^{-{\rm e}}$ (dans ce cas, pas de limite).

Pour $a={\rm e}^{-{\rm e}}$, les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont respectivement croissante majorée et décroissante minorée. Leur limite commune est $1/\rm e$.

Pour $1>a>{\rm e}^{-{\rm e}}$, les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont respectivement croissante majorée et décroissante minorée (étude assez laborieuse) ; elles ont $\ell$ comme limite commune.

etanche

@ gebrane utilise la formule Taylor reste intégrale.

gebrane

Donne les détails etanche et merci 

JLapin

Si c'est moi qui te donne les détails, ça te va ? Je trouve souvent étrange la façon dont tu donnes des ordres à certains participants des fils.

gebrane

Je ne m'adresse pas à toi, Jlapin, et je ne donne aucun ordre à Etanche. C'est une complicité entre Etanche et moi que tu ne comprendras jamais. Je sais démontrer que f se développe en série entière, mais je voulais savoir si Etanche y avait pensé comme je le pense 

etanche

Pour cet exercice il n’y a qu’une seule démonstration pour voir que $f$ est DSE, faut passer par Taylor reste integrale. 

gebrane

Oui etanche , pour démontrer que le reste tend vers 0, on utilise la formule de Taylor, mais pas que !

Bibix

Jour 24

Soient $u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+^*$ un $C^1-$difféomorphisme et $X$ une v.a. réelle de densité $p_X$ tel que $p_X(\mathbb{R}) \cap \mathbb{R}_+^*$ soit dense dans $\mathbb{R}_+^*$, montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
    _ $u'(0) = u(0) = 1$ et $\mathbb{E}[(u^{-1}\circ p_Y)(X)] \leq \mathbb{E}[(u^{-1}\circ p_X)(X)]$ pour tout $Y$ v.a. réelle de densité $p_Y$ sous réserve d'existence $(*)$.
    _ $\forall x \in \mathbb{R}, u(x) = e^x$.

N.B. $(*)$ : l'existence a priori de ces trucs n'est pas garantie et c'est un problème technique ennuyeux mais on peut par exemple prendre $X$ et $Y$ dans $\{Z \mid (u^{-1} \circ p_Z)(X)_+ \in L^1 \text{ ou } (u^{-1} \circ p_Z)(X)_- \in L^1\}$. Ce qui compte, c'est de pouvoir prendre $p_Y$ dans un voisinage de $p_X$.

Foys

etanche a dit :

Pour cet exercice il n’y a qu’une seule démonstration pour voir que $f$ est DSE, faut passer par Taylor reste integrale. 

Taylor-Lagrange marche aussi, peut-être même que ça va plus vite (ne pas négliger l'énorme apport de l'hypothèse "$f^{(n)}(x) \geq 0$ pour tout entier $n$ et tout réel $x$").

Philippe Malot

@gebrane tu peux aller voir ici : https://www.bibmath.net/ressources/justeunexo.php?id=1850
@Bibix : j'ai modifié le calendrier pour s'arrêter le 24. 
Tu peux poster ton problème du 30 aujourd'hui (en plus de l'autre) si tu veux !

gebrane

Pour le jour 24 je ne vois pas pour le moment le sens direct donc je fais le sens réciproque le plus accessible

On suppose que $u=exp$ et on doit  démontrer l'inégalité demandé. je rappelle la  Divergence de Kullback-Leibler

La divergence de Kullback-Leibler entre deux densités \(p(x)\)  et \(q(x)\)  est définie comme :

\[D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \int_{-\infty}^\infty p(x) \log \frac{p(x)}{q(x)} \, dx.\]

Une propriété essentielle est  la positivité de \(D_{\mathrm{KL}}\)  voir wiki 

Lien avec notre problème avec le jour24

Dans notre problème, nous avons deux densités \(p_X(x)\) et \(p_Y(x)\), avec l'inégalité à montrer :

\[\mathbb{E}[(\ln \circ p_Y)(X)] \leq \mathbb{E}[(\ln \circ p_X)(X)],\]

qui s'écrit explicitement comme :

\[\int_{-\infty}^\infty \ln(p_Y(x)) \cdot p_X(x) \, dx \leq \int_{-\infty}^\infty \ln(p_X(x)) \cdot p_X(x) \, dx.\]

Considérons la divergence de Kullback-Leibler entre \(P_X\) et \(P_Y\) :

\[D_{\mathrm{KL}}(P_X\|P_Y) = \int_{-\infty}^\infty p_X(x) \log \frac{p_X(x)}{p_Y(x)} \, dx.\]

En développant :

\[D_{\mathrm{KL}}(P_X\|P_Y) = \int_{-\infty}^\infty p_X(x) \log p_X(x) \, dx - \int_{-\infty}^\infty p_X(x) \log p_Y(x) \, dx.\]

On observe que la deuxième intégrale est exactement \(\mathbb{E}[(\ln \circ p_Y)(X)]\), et la première est \(\mathbb{E}[(\ln \circ p_X)(X)]\). Ainsi :

\[D_{\mathrm{KL}}(P_X\|P_Y) = \mathbb{E}[(\ln \circ p_X)(X)] - \mathbb{E}[(\ln \circ p_Y)(X)].\]

Comme \(D_{\mathrm{KL}}(P_X\|P_Y) \geq 0\), on obtient :

\[\mathbb{E}[(\ln \circ p_X)(X)] \geq \mathbb{E}[(\ln \circ p_Y)(X)].\]

Bibix

Tu as bien reconnu la divergence de Kullback-Leibler @gebrane, maintenant tout le jeu est de démontrer que c'est la seule possibilité. Concernant le sens réciproque, cela revient effectivement à démontrer que $D_{\rm KL}$ est positive mais il existe plusieurs démonstrations de ce fait. On peut par exemple utiliser la concavité du logarithme et Jensen, mais on peut aussi utiliser l'inégalité $\ln(1+x) \leq x$ :

$$\mathbb{E}\left[\ln\left(\frac{p_Y(X)}{p_X(X)}\right)\right] \leq \mathbb{E}\left[\frac{p_Y(X)}{p_X(X)} - 1\right] = \int_{\mathbb{R}} p_Y(x) dx - 1 = 0.$$

Bibix

Jour 30$\to$25

Soit $(q_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante de nombres premiers telle que $\frac{q_n}{n} \to +\infty$ quand $n \to +\infty$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on prend un sous-ensemble $E_n$ de $\mathbb{F}_{q_n}^n$ de sorte que $\underset{n \to +\infty}{\lim} a_n = 0$ avec $$a_n = \frac{n q_n^{n-1}}{{\rm Card} (\{u \in \mathbb{F}_{q_n}^n \setminus \{0\} \mid \exists x \in \mathbb{F}_{q_n}^n, D_{x,q_n}(u) \subset E_n\})},$$ où $D_{x,q}(u) = \{x + t u \mid t \in \mathbb{F}_q\}$ désigne la droite affine dans $\mathbb{F}_q$ de direction $u$ passant par $x$.Montrer que $$\underset{n \to +\infty}{\liminf} \, \, a_n \sqrt[n]{{\rm Card}(E_n)} \geq e.$$

N.B. : $\mathbb{F}_q$ est le corps fini à $q$ éléments $\mathbb{Z} / q \mathbb{Z}$.

marco

Je dois me tromper.

Je trouve $a_n |E_n|^{1/n} \mapsto + \infty$.
En effet, soit $m_n$ le maximum au dénominateur, on a $|E_n| \geq m_n$. 
Donc $|E_n| \geq m_n= nq_n^{n-1}/a_n$.
Et $a_n \geq \frac{n q_n^{n-1}}{q_n^n-1}$, donc $a_nq_n \geq n$.
Donc $a_n |E_n|^{1/n} \geq a_n^{1-1/n}n^{1/n} q_n^{1-1/n} \geq n$.

gebrane

Bonjour @Philippe Malot Le fait que \( f \) soit la somme de sa série de Taylor, je l'es rencontré dans un concours ,   et par exemple un corrigé  je voulais savoir si etanche a possession d'une autre  preuve  aussi par taylor.  Maintenant, je crois que ta question du jour reste d'actualité. (si on veut faire différent de la question du jour de John), comment pourrait-on déduire ta question en utilisant le développement de Taylor ? De mon côté, comme Namiswan, je vais y réfléchir quand j'aurai suffisamment de temps.

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john_john

Bonsoir,
je vois une méthode pour parvenir (jour XXIV) à $u=\exp$ ; elle manque sans doute de rigueur mais ne demande qu'à être rédigée aux petits oignons. Je note $v$ pour $u^{-1}$.
La propriété doit être vraie en particulier si $X$ a une densité $f$ à support dans un segment $I$ et $>0$ en tout point ; si $h$ est une fonction continue et d'intégrale nulle sur $I$, $f+th$ est à valeurs $>0$ pour un réel constant $t$ assez petit.
De ce fait, on doit avoir $\int_Iv(f+th)\times f\leqslant\int_Iv(f)\times f$ ; or, la dérivée par rapport à $t$ du membre de gauche est $\int_Ihv'(f+th)\times f$ : cette intégrale doit être nulle en $t=0$ (maximum atteint !).
Donc $\int_Ih=0$ implique $\int_Ifv'(f)h=0$, ce qui signifie que $fv'(f)=\lambda$ pour toute densité $f$ et donc encore $f'v'(f)=\lambda f'/f$ et donc enfin $v(f)=\lambda\ln f+\mathbf\mu$.

Bibix

Oups pardon, j'ai posté le mauvais exo. J'ai corrigé, normalement c'est bon.

gebrane

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Quelle force d'esprit, John ! Je n'avais pas pensé à considérer une perturbation de la densité $p_X$ pour construire des densités $p_Y$.

Je reprends à ma façon ta preuve.

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Considérons une densité $p_X$ strictement positive sur son support $I \subseteq \mathbb{R}$. Prenons une fonction $h : I \to \mathbb{R}$ continue telle que $\int_I h(x) dx = 0$.

Définissons une densité $p_Y$ comme une perturbation de $p_X$ :
$p_Y(x) = p_X(x) + \varepsilon h(x),$
où $\varepsilon$ est suffisamment petit pour garantir que $p_Y(x) > 0$ et que $p_Y$ soit une fonction de densité.

Considérons la fonction $g(\varepsilon)$ définie par :
$g(\varepsilon) = \int_I v(p_X(x) + \varepsilon h(x)) p_X(x) dx.$ avec $v=u^{-1}$

L'hypothèse stipule que pour $\varepsilon$ petit, $g(\varepsilon) \leq g(0)$. Cela implique que $g$ admet un extremum local en $\varepsilon = 0$, et donc nécessairement $g'(0) = 0$. Cela conduit à :
$g'(0) = \int_I v'(p_X(x)) h(x) p_X(x) dx = 0.$

Cette relation doit être vraie pour toute fonction $h$ telle que $\int_I h(x) dx = 0$. Cela implique que $v'(p_X(x)) p_X(x)$ est constant sur $I$. Notons cette constante $\lambda$. Ainsi :
$v'(p_X(x)) p_X(x) = \lambda.$

L'hypothèse cruciale sur la densité de $p_X(\mathbb{R}) \cap \mathbb{R}_+^*$ implique que :
$v'(y) y = \lambda \quad \forall y > 0.$

En intégrant, on obtient :
$v(y) = \lambda \ln(y) + C,$
où $C$ est une constante d'intégration.

Utilisons les conditions initiales pour déterminer $\lambda$ et $C$ :

1. $v(1) = 0$ implique $C = 0$,
2. $v'(1) = 1$ implique $\lambda = 1$.

Ainsi, $v(y) = \ln(y)$.

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 😊

john_john

Bonjour, fiston !
force d'esprit, non : je suis un artisan qui use de méthodes solidement éprouvées

Bon Noël et bonnes fêtes à tous, j__j

gebrane

Bon Noël  à tous et d'avance bonne nouvelle année 2025

Le nombre 25 m'effraie et donc l'enigme du jour m'effraie  aussi  , mais JLapin a dit :

Si c'est moi qui te donne les détails, ça te va ? Je trouve souvent étrange la façon dont tu donnes des ordres à certains participants des fils.

Il  me prend pour quelqu'un qui donne des ordres. Soit !
Jlapin, je veux que tu nous donnes une solution du jour 25, et c'est un ordre. Si tu désistes, c'est la cour martiale !

Sans blague, je n'arrive pas à faire démarrer mes neurones

Bibix

Un indice pour démarrer avec le jour 25 :

Considérer $\phi_n : \mathbb{F}_{q_n}[X_1, ..., X_n]_{= d_n} \to (\mathbb{F}_{q_n})^{E_n}$ telle que $\phi_n(P) = (t \longmapsto P|_{E_n}(t))$ avec $d_n$ bien choisi et $\mathbb{F}_{q_n}[X_1, ..., X_n]_{= d_n}$ qui est l'ensemble des polynômes homogènes sur $\mathbb{F}_{q_n}$ de degré $d_n$ à $n$ inconnues.

Profitez avant tout de Noël hein.

gebrane

Est ce que l'idée derrière ce $\phi_n$ est de choisir $d_n$ pour que $\phi_n$ soit  injective et gagner une inégalité sur ....

JLapin

gebrane a dit :

Il  me prend pour quelqu'un qui donne des ordres. Soit !
Jlapin, je veux que tu nous donnes une solution du jour 25, et c'est un ordre. Si tu désistes, c'est la cour martiale !

Sans blague, je n'arrive pas à faire démarrer mes neurones

L'énoncé est trop effrayant : ce sera la cours martiale

gebrane

Oui il est très repoussant

etanche

@ Philippe Malot peux-tu poster ta solution de ton problème jour 22 ? ( solution sans probabilité, ni densité) merci.

gebrane

Peut-être que Philippe Malot aurait la gentillesse de placer en première page les liens vers les questions du jour, afin de faciliter la relecture.

Philippe Malot

Bonsoir,
Si $f$ est absolument monotone, on a déjà vu que $f$ est développable en série entière sur $\R$.
Soit $x$ un nombre réel et $n$ un nombre entier naturel tel que $x+n>0$.
On développe $f$ en série entière en $-n$, ce qui nous donne :
\[f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x+n)^k\;,\] avec évidemment $a_k=\dfrac{f^{(k)}(-n)}{k!}$ pour tout nombre entier naturel $k$.
Comme $f$ est AM, on a $a_k\geqslant 0$ pour tout nombre entier naturel $k$.

On a également : 
\[f'(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}ka_k(x+n)^{k-1}\,,\]
\[f''(x)=\sum_{k=2}^{+\infty}k(k-1)a_k(x+n)^{k-2}\,.\]

On en déduit que : 
\[(x+n)f'(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}ka_k(x+n)^k\,,\]
\[(x+n)f'(x)+(x+n)^2f''(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}k^2a_k(x+n)^k\;.\]

Comme $a_k(x+n)^k\geqslant 0$ pour tout nombre entier naturel $k$, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a : 
\[\small ((x+n)f'(x))^2 =\left(\sum_{k=0}^{+\infty}ka_k(x+n)^k\right)^2\leqslant\left(\sum_{k=0}^{+\infty}a_k(x+n)^k\right)\left(\sum_{k=0}^{+\infty}k^2a_k(x+n)^k\right)=f(x)((x+n)f'(x)+(x+n)^2f''(x))\;.\]

En divisant chaque membre par $(x+n)^2>0$ et en développant le membre de droite, on obtient : 
\[(f'(x))^2\leqslant f(x)f''(x)+\frac{f(x)f'(x)}{x+n}\;.\]
On a $x+m\geqslant x+n>0$ pour tout $m\geqslant n$, donc on peut faire tendre $n$ vers $+\infty$, ce qui nous donne : 
\[(f'(x))^2\leqslant f(x)f''(x)\;.\]
La fonction $F\colon x\mapsto f(x)f''(x)-(f'(x))^2$ est donc positive et dérivable sur $\R$. (remarque : $f$ est donc log-convexe)
Comme $f(0)=f'(0)=f''(0)=1$, on a $F(0)=0$. Comme $F$ est positive, $0$ est donc un point critique de $F$.
Or, pour tout nombre réel $x$, on a  \[F'(x)=f(x)f^{(3)}(x)-f'(x)f''(x),\] donc on trouve
\[F'(0)=f(0)f^{(3)}(0)-f'(0)f''(0)=0\,,\]
ce qui nous mène à $f^{(3)}(0)=1$.
Par une récurrence immédiate appliquée à $f'$ et ses dérivées successives (qui sont absolument monotones comme $f$ et qui vérifient les mêmes conditions initiales), on en déduit que $f^{(n)}(0)=1$ pour tout nombre entier naturel $n$.
Comme $f$ est développable en série entière sur $\R$, c'est donc la fonction exponentielle.

etanche

@ philippe Malot fantastique solution. 

Philippe Malot

J'avais trouvé cet exercice dans le livre Mathematical Tapas: Volume 2 (From Undergraduate to Graduate Level) de Jean-Baptiste Hiriart-Urruty. C'est le Tapas n°191 p185.
L'auteur y mentionne aussi les caractérisations dont on a déjà parlé sur ce forum des fonctions cosinus et sinus, ainsi que les noms des mathématiciens qui ont trouvé ces caractérisations (Bernstein et Delange).
Ma solution est essentiellement une adaptation de celle donnée par Bernstein dans l'article que voici : Clic !

john_john

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2338459/je-recherche-un-sujet#latest

Bonjour,
on y montre plus précisément que, si $f$ est AM, alors $ff''-{f'}^2$ l'est aussi, de sorte que l'annulation en $0$ de $f$ et de ses deux premières dérivées suffit à en entraîner la nullité en tout point.

Au dire de mon préparateur à l'Agrég dix ans après, ce sujet faisait encore partie de ceux qu'il résolvait de tête, mais ça a changé à partir de 1970   

etanche

Pour les fonctions absolument et complètement monotones voir la chapitre 4 de l’excellent livre 
David Vernon Widder, Laplace transform, Princeton University Press.

john_john

Jour XXXIX (sic !)

Je viens de penser un peu tard à un exercice qui met ${\rm e}$ à l'honneur ; en voici l'énoncé : 

Une zone de stationnement un peu ancienne est constituée de $n$ cases alignées parallèlement à la route ; hélas, les automobiles se sont allongées et l'on a besoin de deux cases (contiguës ) pour se garer. Chaque nouvel arrivant, s'il trouve de la place, se gare aléatoirement sur deux cases disponibles (mais, si par exemple quatre cases successives forment un ilôt, il peut se garer sur les deux cases centrales et, ainsi, rendre les deux autres indisponibles). Quel est un équivalent du nombre moyen $a_n$ d'automobiles pouvant se garer ?

LOU16

Bonjour @john john

Je pense avoir adopté un bon angle d'attaque pour ce joli problème de parking, mais une erreur de calcul n'est pas exclue.

Je suis parvenu à

$$\mathbb E(a_n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\dfrac {n(1-\mathrm e^{-2})}2.$$

jandri

Je confirme ce qu'a trouvé @LOU16.
On a même plus précisément :  $\mathbb E(a_n)=\dfrac {n(1-\mathrm e^{-2})}2-\mathrm e^{-2}+O(2^n/(n+1)!)$.
La question a été étudiée en mars 2019 dans le fil Parking - Oral ens