Choc, boules de billard et jacobien

marco

Bonjour,
Soit $(\dot{x}_1(0),\dot{y}_1(0), \dot{x}_2(0),\dot{y}_2(0)) \in \R^4$ des réels fixés, soit $d$ une durée fixée (un nombre réel) et $m$ un nombre réel fixé représentant une masse.
On suppose que à $t=0$ une boule $B_1$ de billard est en $M_1(0)=(x_1(0),y_1(0))$ et a comme vitesse $(\dot{x}_1(0),\dot{y}_1(0))$. De même, pour $B_2$ en $M_2(0)=(x_2(0),y_2(0))$ de vitesse initiale à $t=0$, $(\dot{x}_2(0),\dot{y}_2(0))$. Elles ont comme masse $m$.
On suppose qu'il y a un choc (sans perte d'énergie, ni de quantité de mouvement) entre $B_1$ et $B_2$ à un instant $t_c$ compris entre $0$ et $d$.
Soit $\phi$ de $\R^4$ dans $\R^4$, qui à $(M_1(0),M_2(0))$ associe la position $(M_1(d),M_2(d))$ de $B_1$ et de $B_2$ à l'instant $d$ fixé après le choc.
Est-ce que $|\det D\phi|$ vaut $1$ ?
Merci d'avance.

Georges Abitbol

Mais on n’est pas dans le cas où peut supposer que les boules se traversent ?

YvesM

Bonjour,
Puisque l'on suppose un choc à l'instant $\displaystyle t_c$ tel que $\displaystyle 0<t_c<d$ alors les boules $M_1$ et $M_2$ se rencontrent en un point $C$ à l'instant $\displaystyle t_c$, on écrit donc :
$\displaystyle x_1(0)+\dot{x}_1(0) t_c = x_2(0)+\dot{x}_2(0) t_c $ et
$\displaystyle y_1(0)+\dot{y}_1(0) t_c = y_2(0)+\dot{y}_2(0) t_c $ puis
$\displaystyle t_c = {x_2(0)-x_1(0)\over \dot{x}_1(0)-\dot{x}_2(0)} = {y_2(0)-y_1(0)\over \dot{y}_1(0)-\dot{y}_2(0)} .$
On note $\displaystyle v'_{1x}, v'_{1y}$ les composantes du vecteur vitesse de la boule $M_1$ après le choc. De même pour $\displaystyle v'_{2x}, v'_{2y}$ les composantes du vecteur vitesse de la boule $M_2$ après le choc.
Après le choc au point $C$ à l'instant $t_c$, les boules parcourent une distance pendant une durée $d-t_c>0$ pour arriver à $M_1(d)$ et $M_2(d)$, on écrit donc : 
$\displaystyle x_1(d)=x_1(0)+\dot{x}_1(0) t_c + v'_{1x} (d-t_c)$ et
$\displaystyle y_1(d)=y_1(0)+\dot{y}_1(0) t_c + v'_{1y} (d-t_c)$ et
$\displaystyle x_2(d)=x_2(0)+\dot{x}_2(0) t_c + v'_{2x} (d-t_c)$ et
$\displaystyle y_2(d)=y_2(0)+\dot{y}_2(0) t_c + v'_{2y} (d-t_c)$.
La conservation de la quantité de mouvement lors du choc s'écrit : 
$\displaystyle v'_{1x}+ v'_{2x} = \dot{x}_1(0)+ \dot{x}_2(0)$ et
$\displaystyle v'_{1y}+ v'_{2y} = \dot{y}_1(0)+ \dot{y}_2(0)$.
La conservation de l'énergie (cinétique) lors du choc s'écrit : 
$\displaystyle v'^2_{1x}+v'^2_{1y}+v'^2_{2x}+v'^2_{2y}=\dot{x}^2_1(0) + \dot{y}^2_1(0) +\dot{x}^2_2(0) + \dot{y}^2_2(0) .$
On peut alors déduire des équations de conservation les vitesses après le choc selon les vitesses avant le choc (en prenant par example $\displaystyle v'_{2y}$ comme paramètre puisqu'on a trois équation pour quatre composantes). On note que les vitesses après le choc ne dépendent pas explicitement des positions à l'instant $0.$
On réécrit avec $\displaystyle Q_{zk}={\dot{z}_k(0)-v'_{kz}\over \dot{z}_1(0)-\dot{z}_2(0)}$ sous une forme qui facilite le calcul de la différentielle : 
$\displaystyle x_1(d)=v'_{1x} d + (1-Q_{x1}) x_1(0) + Q_{x1} x_2(0) $ et
$\displaystyle y_1(d)=v'_{1y} d + (1-Q_{y1}) y_1(0)+Q_{y1} y_2(0)$ et
$\displaystyle x_2(d)=v'_{2x} d -Q_{x2} x_1(0) + (1+Q_{x2}) x_2(0) $ et
$\displaystyle y_2(d)=v'_{2y} d - Q_{y2} y_1(0)+ (1+Q_{y2}) y_2(0)  .$
On calcule alors $\displaystyle \det D\Phi =\det \begin{pmatrix} 1-Q_{x1}&0&Q_{x1}&0\\0&1-Q_{y1}&0&Q_{y1}\\-Q_{x2}&0&1+Q_{x2}&0\\0&- Q_{y2}&0&1+ Q_{y2}\end{pmatrix}= (Q_{x1}-Q_{x2}-1)(Q_{y1}-Q_{y2}-1)={ (v'_{2x}-v'_{1x})(v'_{2y}-v'_{1y})\over ( \dot{x}_1(0)-\dot{x}_2(0))( \dot{y}_1(0)-\dot{y}_2(0))}.$
Le message plus bas énonce que les boules ont un rayon $r>0$ et que la force de réaction lors du choc est colinéaire à la droite passant par les centres des particules. Cette condition de colinéarité signifie qu'il existe $a$ et $b$ deux réels tels que $\displaystyle v'_{2x} = \dot{x}_1(0) +a, v'_{2y} =\dot{y}_1(0)+b, v'_{1x} = \dot{x}_2(0) -a, v'_{1y} =\dot{y}_2(0)-b$ ; on vérifie que la conservation de la quantité de mouvement est vérifiée.
On a donc $\displaystyle \det D\phi = (1+{2 a \over\dot{x}_1(0)-\dot{x}_2(0) }) (1+{2 b \over\dot{y}_1(0)-\dot{y}_2(0) }).$
La relation $ \displaystyle  |\det D\phi | = 1$ est vérifiée si et seulement si $a=b=0$ : les boules échanges parfaitement leurs vecteurs vitesse lors du choc. 
C'est une hypothèse naturelle puisqu'aucun paramètre du système ne permet de déterminer $a$ et $b$, càd l'écart au cas où les boules échanges parfaitement leurs vecteurs vitesse lors du choc. D'ailleurs, la conservation de l'énergie cinétique impose $\displaystyle a=b=0$.
Pour le démontrer, on écrit $\displaystyle v'_1 = v_1+a, v'_2 = v_2-a$ qui conserve la quantité de mouvement, puis on élève au carré et alors, puisque $\displaystyle v'^2_1+v'^2_2 = v^2_1+v^2_2 $ on a $\displaystyle 2a(a+v_1-v_2) = 0$ qui donne soit $a=0$ soit le cas (absurde) $\displaystyle a+v_1-v_2=0$ qui mène à $\displaystyle v_1'=v_1, v_2'=v_2,$ et donc à $\displaystyle v_1=v_2=0$ et $\displaystyle v_1'=v_2'=0$ puisque les signes sont opposés. C'est le cas d'un choc entre deux boules de vitesses initiales nulles. 

marco

Merci pour les réponses, mais pardon, je suppose que les boules de billard ont un rayon $r$ (j'avais oublié de l'écrire). Et que la force de réaction lors du choc est colinéaire à la droite passant par les centres des boules.

marco

Merci @YvesM .

marco

Je ne savais pas que les boules de billard échangeaient leurs vitesses. Mais je ne comprends pas pourquoi. Après le choc, on doit avoir $v'_1=v_1+\lambda \vec{M_2M_1}$ où $M_2$ est le centre de $B_2$ et $M_1$ le centre de $B_1$. Si elles échangent leurs vitesses, on a donc $v'_1=v_2$. Donc $v_2-v_1$ colinéaire à $(M_2M_1)$. Mais ce n'est pas toujours le cas. Sauf erreur.

marco

Chapeau @YvesM !

Georges Abitbol

Ah j’ai compris. J’ai mal lu le message initial. Je croyais que les boules se déplaçaient en dimension $1$.
Je précise mon message de ci-dessus qui ne vaut que dans ce cas.
Il me semble que si on dit que la boule de gauche est rouge, et celle de droite est bleue, alors, si elles ont même masse et rayon nul, alors le scénario de collision est le même que « les deux boules n’interagissent pas entre elles, se traversent l’une l’autre, sauf que la rouge devient bleue après la fausse collision et la bleue devient rouge ».

YvesM

Bonjour,
@marco
J'ai fini la démonstration. On établit que nécessairement le choc élastique colinaire échange les vecteurs vitesses. 

marco

Merci @YvesM !
@Georges Abitbol :  je n'avais pas compris ton premier message (je croyais que tu pensais au cas $r=0$).