Une intégrale

Hypocrates

Calculer 
\[\int_{-1}^1 e^{-\sigma /\sqrt{1-x^2}} dx\]

Zebilamouche

Tu voulais dire : 

$\displaystyle \int_{-1}^{1} e^{\dfrac{\sigma }{\sqrt{1-x^2}}} \, \mathrm{d}x$ 

??

Math Coss

Ça diverge, non ?

gerard0

Bonjour.

Je lis plutôt $\displaystyle \int_{-1}^{1} e^{\dfrac{-\sigma }{\sqrt{1-x^2}}} \, \mathrm{d}x$.

La convergence ne dépendrait-elle pas du signe de $\sigma$ ?

Cordialement.

gerard0

@Hypocrates : 

En supprimant les sauts de lignes inutiles, on obtient

$$\int_{-1}^1 e^{-\sigma /\sqrt{1-x^2}} dx$$

Fais un clic droit sur les formules en LaTeX, puis "Show maths as" et "Tex commands".

gebrane

$\int_{-1}^1 e^{-\sigma /\sqrt{1-x^2}} dx=2\int_{0}^1 e^{-\sigma /\sqrt{1-x^2}} dx$
En posant $y=1 /\sqrt{1-x^2}$, on tombe sur un monstre ( pas de forme close)

Hypocrates

Il faut poser $x=cos(\theta )$ et faire apparaître une équation différentielle par une ipp.

YvesM

Bonjour,
On démontre que l'intégrale diverge pour $\sigma >0$. Pour $\sigma=0$, on trouve $2$. Pour $\sigma < 0$, par parité on intègre sur $\displaystyle [0,1]$ à un facteur $2$ près, on intègre par partie $\displaystyle 1 \times \exp({\sigma \over \sqrt{1-x^2}})$ ; le terme intégré s'annule et on établit une équation différentielle du premier ordre en $\sigma$ car l'intégrale restante, après changement de variables $\displaystyle x\leadsto z$ avec $\displaystyle z={1 \over \sqrt{1-x^2}}$, vaut $K_1(-\sigma)$ qui est une fonction de Bessel de seconde espèce modifiée. 
On résout l'équation différentielle avec une fonction $G$ de Meijer et on détermine le coefficient d'intégration (nul) en considérant que la limite de l'intégrale en $-\infty$ est nulle.