Une équation diophantienne
Bonjour,
Comment montrer que l’équation $ 11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2 $ n’a pas de solutions entières lorsque x≠0?
j’ai montré, en considérant l’équation du second degré en $ x^2 $ que $ 56y^2+385z^2 $ doit être un carré parfait. Est ce que c’est correct, si oui comment montrer alors que c’est impossible.
Comment montrer que l’équation $ 11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2 $ n’a pas de solutions entières lorsque x≠0?
j’ai montré, en considérant l’équation du second degré en $ x^2 $ que $ 56y^2+385z^2 $ doit être un carré parfait. Est ce que c’est correct, si oui comment montrer alors que c’est impossible.
Réponses
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Il faut raisonner modulo $11$.
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Bonjour,
Pour $y=z=1$ par exemple, $56y^2+385z^2=441$ qui est un carré parfait.
Cordialement,
Rescassol
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$56y^2+385z^2$ doit être un carré parfait. Effectivement, c'est une condition nécessaire pour que l'équation ait une solution.
Mais ce n'est pas une condition suffisante.
Et si tu cherches à montrer que $56y^2+385z^2$ n'est jamais un carré parfait, tu ne vas certainement pas y arriver, puisque pour $y=1$ et $z=1$ par exemple, c'est un carré parfait.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Pour deux dollars de plus, on écrit : $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$.
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L'entier $x$ est divisible par $7$, et $z^2 \equiv y^2 (\mathrm{mod.} ~49)$, mais je crains que ça n'avance guère...
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Effectivement , je ne dois pas chercher à obtenir la contradiction en utilisant $56y^2+385z^2$
je me demande alors comment va intervenir l’hypothèse : x≠0 pour avoir cette contradiction. -
$(x,y,z)=(7,42,7)$ je crois que c'est une solution.
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Ou $(x,y,z)=(14,63,35)$
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Ou $(x,y,z)=(14,63,35)$
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Voici d'autres solutions (toutes celles pour lesquelles $x$ et $|y|$ sont plus petits que 1000 ?) :
(7, -108, 137) (7, 42, 7) (14, -432, 548) (14, -42, 154) (14, 63, 35) (14, 168, 28) (14, 258, 134) (21, -972, 1233) (21, -532, 791) (21, 28, 217) (21, 48, 195) (21, 168, 21) (21, 378, 63) (21, 418, 121) (21, 798, 525) (28, -168, 616) (28, 252, 140) (28, 282, 86) (28, 672, 112) (35, -990, 1705) (35, -504, 1211) (35, 24, 661) (35, 210, 455) (35, 336, 301) (35, 342, 293) (35, 420, 175) (35, 462, 77) (42, -813, 1833) (42, -378, 1386) (42, 112, 868) (42, 192, 780) (42, 462, 462) (42, 567, 315) (42, 662, 122) (42, 672, 84) (56, -672, 2464) (63, 252, 1953) (63, 432, 1755) (63, 932, 1175) (70, -570, 3350) (70, 42, 2702) (70, 96, 2644) (70, 378, 2338) (70, 840, 1820) (77, 492, 2791) (84, 448, 3472) (84, 768, 3120) (105, -924, 7161) (105, -210, 6405) (105, 216, 5949) (105, 700, 5425) (140, 168, 10808) (140, 384, 10576) (154, 693, 12551) (168, -798, 16674) (175, 600, 16525) (210, -840, 25620) (210, -129, 24861) (210, 378, 24318) (210, 864, 23796) (266, -627, 40337) (273, 182, 41587) (280, 672, 43232) (420, -516, 99444) (546, 728, 166348) (630, 665, 221795)
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Merci pour tous ces éclaircissements, il semble qu’en réduisant le problème que je voulais résoudre à cette équation, je me suis trompée de direction.Voici le problème original
il s’agit de montrer que l’équation suivante en entiers relatifs n’a pas de solution lorsque a≠0
$3a^6-21a^4b+35a^3c+35a^2b^2+70c^2-105abc=0$
le fait d’avoir considéré le discriminant a faussé mon chemin. Mais je ne sais toujours pas comment y répondre. -
Fais péter les dollars !
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Tous les coefficients sont multiples de $7$, sauf le premier. Donc $a$ est forcément multiple de $7$.
Tu peux faire un changement de variable, $a=7d$ , tout simplifier par $7$ ... et voir ce que ça donne.
J'ai l'impression que le facteur $5$ va nous permettre de faire le même type de manipulation.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Est-ce que $(-14, 63, -98)$ ne serait pas une solution ?
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Oui ! (-14, 63, -98 ) est une solution !
alors dans ce cas mon équation a bien des solutions même lorsque x≠0.Comment je pourrais alors obtenir l’ensemble de toutes les solutions?Désolée pour trop de questions ! -
Aucune idée (ça me semble mission impossible). Voici deux autres solutions en tout cas (la troisième était connue vu qu'on peut librement changer $(a,b,c)$ en $(-a,b,-c)$).
(7, 42, 147) (14, 63, -147) (14, 63, 98)
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En tout cas, merci beaucoup !Au moins je ne continue pas à chercher vainement à prouver qu’il n’y a pas de solution !
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Bonjour,La résolution complète de l'équation diophantienne $11x^4-42x^2y+35y^2=35z^2$ est sans doute humainement possible mais exige une minutie et une pugnacité supérieures à celles dont je suis capable.Cette équation admet en tous cas une infinité de solutions $(x,y,z)$ (cela n'est pas vraiment un "scoop"), dont l'ensemble est la réunion de fournées d'un type similaire à celles indiquées ci-dessous.$$\left\{\left(7st,\: \dfrac{147s^2t^2+\varepsilon(49s^4+14t^4)}5,\:\dfrac {49s^4-14t^4}5\right)\mid \varepsilon =\pm1,\: (s,t) \in\Z^2,\:s^2 \equiv \varepsilon t^2 \mod 5\right\},$$$$\left\{\left(14 st,\:\dfrac{588s^2t^2+\varepsilon(196t^4+56s^4)}5,\:\dfrac{196t^4-56s^4}5 \right) \mid \varepsilon =\pm1,\:(s,t) \in \Z^2,\:s^2\equiv \varepsilon t^2 \mod 5 \right\},$$$$\left\{\left( 7st, \: \dfrac{147s^2t^2 -\varepsilon(s^4 +686t^4)}5,\:\dfrac{s^4-686t^4}5\right) \mid \varepsilon = \pm 1,\:(s,t) \in\Z^2,\:s^2\equiv\varepsilon t^2 \mod 5 \right\},$$$$\Big\{\left(35st,\:35s^2t^2\pm35(s^4+14t^4),\:490t^4-35s^4\right) \mid (s,t) \in \Z^2\Big\}.$$
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Bonjour LOU 16,
Puis-je avoir une idée ou de grandes lignes concernant votre résolution? À moins que vous jugez que ce soit trop difficile pour moi.C’est en tout cas très intéressant . Merci beaucoup. -
Bonjour @Sara1993,Ce qui n'est pas trop difficile pour moi n'a aucune raison de l'être pour toi.J'ai trouvé plus confortable de considérer le polynôme $11x^4-42x^2yx+35y^2-35z^2$ comme un polynôme en $y$, ce qui conduit à $35^2z^2+56x^4 = u^2=(7v)^2,\quad x=7x_1, \quad (v-5z)(v+5z) =8.7^3x_1^4.$Une délicate discussion où il n'est vraiment pas facile de ratisser rigoureusement "tous les cas" (je ne l'ai pas fait) permet alors d'écrire $v-5z$ et $v+5z $ en fonction d'une décomposition de $x_1 =st.$
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Merci beaucoup !
Au fait j’ai pu arriver à ces équations: j’ai multiplié l’équation du départ par 5, et manipulé un peu pour obtenir $7((5y-3x^2)^2-(5z)^2)=8x^4$
et en posant x=7x1 , et v= $5y-3x^2 $puis u=7v , j’ai obtenu :
$v^2-25z^2=8.7^3. x1^4$
et en multipliant par 7^2 j’obtiens :
$35^2z^2+56x^4=u^2. $Maintenant pour le reste, à savoir paramétrer en fonction de s et t , je ne vois pas encore clairement , je suis arrivée au point: $7st= x^4$avec s=v-5z et t=v+5z. -
Bonjour,
Tu n'as pas de touche "dollar" sur ton clavier ?
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour, Désolée si mon écriture d’équation de la sorte vous ait dérangé autant !
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Bonsoir Sara1993,Rescassol souhaite simplement que tu aies le réflexe de mettre tes formules mathématiques entre deux symboles dollarcomme tout utilisateur du logiciel latex le fait.x^2+x+1 c'est moche ! mais en les mettant entre deux $ ça embellit la situation :$x^2+x+1$Il faut avouer que ça a plus de gueule ! C'est surtout plus lisible. Tu peux toujours modifier tes différents posts en intercalant tes formules à l'aide d'un dollar initial et un dollar final et Rescassol sautera de joie
Et nous tous avec lui ! Pour quelques dollars de plus, même si je préfère les euros
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Bonjour Canasson 29
Oui, j’ai bien compris. Je vous en remercie.
En effet, quelques secondes de plus ne me coûteront rien. Je veillerai dorénavant à utiliser le “ dollar ”. J’aurais bien voulu avoir le choix pour pouvoir utiliser “ l’euro “
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Encore mieux, le franc.
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Bonjour!
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