Matrices symétriques

Azizo

Soient A et B deux matrices symétriques (juste symétriques, pas hermitiennes) dans $M_n(C)$.
Si $|\langle A x, x \rangle + \|A x\|| = |\langle B x, x \rangle + \|B x\||$, est-ce qu'on peut avoir que $A=B$ ou $A=-B$ ?

JLapin

Peux-tu dire ce que c'est que $x$ ?

marco

Si $A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - i \end{pmatrix}$, alors si $x=\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$, on a $\| Ax\|=\sqrt{|u|^2+|v|^2}=\|Bx\|$.
Et $\langle Ax,x \rangle=|u|^2+i|v|^2=\overline{\langle Bx,x \rangle}$.
Donc on a bien la relation pour tout $x$, mais $A \neq B $ et $A \neq -B$.

Azizo

Je m'excuse x est une élément de $C^n$

Azizo

marco a dit :

Si $A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - i \end{pmatrix}$, alors si $x=\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$, on a $\| Ax\|=\sqrt{|u|^2+|v|^2}=\|Bx\|$.
Et $\langle Ax,x \rangle=|u|^2+i|v|^2=\overline{\langle Bx,x \rangle}$.
Donc on a bien la relation pour tout $x$, mais $A \neq B $ et $A \neq -B$.

Bien vu merci

Math Coss

Tout de même, la quantification laisse à désirer !

La question initiale peut se lire « peut-on avoir $A=\pm B$ [même] s'il existe un $x\in\C^n$ tel que... » alors que la question véritable semble être : « peut-on avoir $A\ne\pm B$ [même] si pour tout $x\in\C^n$, on a... » !