Analyse de la différence des racines carrées respectives de deux nombres premiers consécutifs

Emphyrio

Introduction 

Soit pn et pn+1 deux nombres premiers successifs. Nous nous intéressons à la différence des racines carrées : 

 Δ = √pn+1 - √pn

Nous supposons que l’on a une borne sur l’écart entre ces nombres premiers successifs :

pn+1 - pn < ln(n) · (pn/n) avec n >> 1 (1) (voir fichier g(n).pdf en lien)

pour n >> 1 l'inégalité est compatible avec la conjecture de Cramèr,

 

L’objectif est d’analyser l’impact de cette borne sur Δ.

Formule générale pour la différence des racines carrées

La différence des racines carrées peut être exprimée de la manière suivante :

Δ = (pn+1 - pn) / (√pn+1 + √pn).

En substituant la borne donnée pour pn+1 - pn, on obtient :

Δ < (ln(n) · pn) / (n · (√pn+1 + √pn))

Pour de grandes valeurs de pn, on utilise l’approximation suivante :

√pn+1 + √pn ≈ 2√pn

Cela donne alors :

Δ < (ln(n) · pn) / (2n√pn) = ln(n) / (2n√pn)

Comportement de Δ pour de grandes valeurs de n

La différence des racines carrées est ainsi bornée par :

Δ < ln(n) / (2n√pn)

Cela montre que Δ décroît comme ln(n) / (n√pn) lorsque n → ∞, ce qui implique une décroissance rapide à mesure que n augmente.

Conclusion

L'inégalité pn+1 - pn < ln(n) · (pn / n) implique que la différence des racines carrées entre deux nombres premiers successifs décroît rapidement avec n. Ce résultat est compatible avec la conjecture de Cramér, tout en présentant un taux de décroissance plus rapide, offrant ainsi une estimation plus fine. 

Pour aller plus loin lire le fichier racines2.pdf en lien

Expression finale :

L’expression simplifiée de ∆ est donc : ∆ < ln(n)√ln(n)/ 2√n avec n >> 1

Cela montre que la différence des racines carrées décroît rapidement, tout en étant modulée par des termes logarithmiques. 

*Travail réalisé avec l'outil ChatGPT*

samok

Merci, je vais demander à mes animaux ce qu'ils en pensent, puis me coucher avec eux.

lourrran

Tu t'intéresses à $\sqrt{p_{n+1}} -\sqrt{p_n}$.
Dans tes calculs, tu dis  : $\sqrt{p_{n+1}} +\sqrt{p_n}$, ... ne nous embêtons pas , c'est $2\sqrt{p_n}$ 
Autrement dit, tu considères que l'écart entre $\sqrt{p_{n+1}} $ et $\sqrt{p_n}$ est négligeable, et tu en déduis ensuite qu'il est négligeable. Quand j'étais en première ou terminale, même les élèves les plus faibles de la classe n'auraient pas fait une telle erreur.

Essaie encore... mais pars d'un principe : les conjectures connues sont connues, elles ont convaincu les mathématiciens. Et elles ont convaincu les mathématiciens parce qu'elles sont optimales. 
Si en faisant 2 ou 3 manipulations à la portée d'un étudiant de L1, tu arrives à des résultats plus forts que les conjectures en question, forcément, il y a des erreurs dans tes manipulations. 

Tu disais dans une autre discussion que je ne connais pas ton niveau, et que tu ne connais pas mon niveau. 
Permets moi de corriger : tu ne connais pas mon niveau, et tu ne connais pas ton niveau ; je connais mon niveau, et je connais ton niveau.

Fin de partie

"La différence des racines carrées est ainsi asymptotiquement bornée"

Emphyrio  Quel sens donnes-tu à la phrase: une fonction est "asymptotiquement bornée"?

Emphyrio

Ce que vous dites m'étonne lourrran tout le monde sait que le rapport pn+1/pn tend vers 1 quand n>>1 donc l'approximation est légitime. 

Je cherche à montrer que la différence ∆ tend bien vers zéro et comment elle tend vers zéro.

Par ailleurs, n'oublions pas que je suis toujours dans le cadre de ma conjecture :

Pn+1/Pn < n^(1/n) avec n >> 1

Concernant la phrase problématique c'est une bizarrerie de chatGPT que j'ai laissé passer...

Avec ou sans cela ne change rien au final.

Fin de partie

@Emphyrio : Tu fais confiance à un truc qui te sort des trucs pareils?

Crois-tu que ChatGPT va t'économiser l'effort de progresser en mathématiques?

lourrran

En fait, FdP a posé la bonne question : Quel sens donnes tu à ...

Par exemple, tu as ajouté cette phrase : je suis toujours dans le cadre de ma conjecture  ... ... qui rajoute de la confusion à la confusion.

Tout ça est très compliqué (... non, ce n'est pas compliqué, c'est juste que tu as beaucoup de mal à parler normalement, simplement).
Donc on va faire un jeu de rôle.

Tu vas chez ton coiffeur, normalement, pour te faire couper les cheveux. Après les questions d'usage... il commence à te couper les cheveux. Et il engage la conversation.
Coiffeur : Au fait, Emphyrio, j'ai entendu dire que tu avais fait une découverte en maths ,
Emphyrio : oui, en quelque sorte.
Coiffeur : tu peux m'expliquer ?
Emphyrio : oh tu sais, c'est compliqué, tu ne pourras pas comprendre.
Coiffeur : Pourquoi ? Quand j'étais au lycée, j'étais plutôt doué en maths, j'ai arrêté parce que je voulais absolument devenir coiffeur, mais j'étais dans la moyenne..
Emphyrio : ok ... je t'explique ce que j'ai trouvé ...

Allez, vas-y continue la discussion, explique le résultat que tu as découvert, comme si tu parlais à un type 'normal'. 
Donc tu évites les mots comme asymptotiquement.

Parce que, en fait, ce n'est pas clair
Tu expliques ce que tu as découvert, tu expliques ce que Cramer avait découvert (toujours avec des mots simples)
Et tu expliques la différence entre les 2 résultats.

querty

Oui, mais non. À partir du moment où tu considères que c'est une approximation, ce qui est  vrai.

 Je ne suis pas sûr que tu aies le droit d'affirmer que...

Emphyrio

Je vais donc préciser le sens de ma démarche, je suis à la recherche d'une conjecture pouvant servir de preuve ou disons plutôt d'assise forte à tout un tas d'autres conjectures plus "faibles". Pour cela, j'ai choisi d'étudier la conjecture :

 

Je l'ai proposé sur ce forum après avoir exposé mon approche à ChatGPT qui confirme que c'est compatible avec la conjecture de Cramèr :   
Elle doit donc vérifier que le rapport  vaut au maximum 1,1229 quand n >> 1 et le résultat suivant :    .

Selon ChatGPT, ma proposition de conjecture est valable dans les deux sens, cela ressemble un peu à une "preuve" ou disons plutôt à un bon candidat pour analyser le comportement des grands Pn.

Je ne cherche pas à démontrer la conjecture de Cramèr mais je m'en sert pour proposer une conjecture. ChatGPT dit "ok c'est compatible". Dès lors, je m'efforce d'exploiter les résultats et conséquences de ma conjecture pour la mettre à l'épreuve des faits. Si elle propose quelque chose de nouveau ou d'inattendu, il faut le vérifier dans la mesure du possible. 

Si une personne peut démontrer que la conjecture est fausse cela m'interesse de lire la preuve afin de travailler sur une nouvelle proposition de conjecture répondant aux failles et/ou objections.

lourrran

Je pensais que ma question était claire : 

explique ce que tu as découvert comme si tu parlais à un type 'normal' (ton coiffeur), explique ce que Cramer avait découvert (toujours avec des mots simples)
Et explique la différence entre les 2 résultats.

Maintenant, peut-être que tu n'as pas envie d'être clair,  c'est possible.

Emphyrio

Je souhaite savoir si ma conjecture est vraie, ou si elle n'a qu'un domaine de validité limité. En d'autres termes, comment déterminer à partir de quelle valeur de n elle devient fausse si c'est le cas.

Je travaille à la formulation de P(n) pour l'heure, j'obtiens Pn de l'ordre de nln(n)^2 quand n >> 1 et
(pn+1 - pn) <=  Ln(n)^2 - ln(n) - 1 quand n >> 1 (vérifications encore en cours)

Bibix

Ben déjà, on a $\frac{p_{218}}{p_{217}} > 217^{\frac{1}{217}}$ donc c'est mal parti.

Fin de partie

@Bibix: Ton contre-exemple n'en est pas un puisque on ne sait pas  ce que Emphyrio veut dire exactement par $n>>1$. Il pourra toujours t'objecter que ton $n$ n'est pas assez grand.

Emphyrio

En effet, Bibix sauf si à partir de n > No  >> 1 les contre-exemples deviennent de plus en plus fréquents. Cela dit une démonstration serait plus convainquante.

Bibix

Oui, je sais bien que ça ne contredit pas la conjecture asymptotique mais en tout cas, le fait qu'on trouve un contre-exemple aussi éloigné (il y en a d'autres au début) montre que c'est probablement n'importe quoi donc n'importe quel mathématicien sérieux chercherait une autre conjecture. Moi, ça me convainc de ne pas pousser les calculs plus loin.

Emphyrio

217 c'est éloigné ? il est normal d'en avoir au début ! plus loin que quoi ?

Bibix

Ben si la conjecture de Goldbach était fausse pour $n=1328$, ça serait tout de suite moins convaincant...

lourrran

Y'a mon coiffeur qui voudrait savoir quelle est cette ù#}*a#| de conjecture dont vous parlez ! Avec des mots clairs.

A priori, selon Bibix, la conjecture dont vous discutez, ce serait : Il existe un certain rang $n_0$, tel que pour tout $n> n_0$, on aurait $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}< n^{\frac{1}{n}}$

Mais j'ai l'impression que Emphyrio parle d'une autre conjecture, qui dirait $(p_{n+1} - p_n) \le  Ln(n)^2 - ln(n) - 1 $ mais que la formule pourrait encore changer plusieurs fois.

Ca me rappelle un 'sketch' du regretté Jean-Yves Lafesse, je vais essayer de le retrouver.

JLapin

lourrran a dit :

Y'a mon coiffeur qui voudrait savoir quelle est cette ù#}*a#| de conjecture dont vous parlez ! Avec des mots clairs.

Non, à ce stade de la discussion, ton coiffeur qui non seulement est un peu matheux mais qui est surtout un commerçant avec les pieds sur terre a cessé de trouver le moindre intérêt et écoute poliment, sans jurer, en disant oui oui de temps en temps et en se concentrant sur les mèches.

Là, c'est vraiment toi qui veut savoir quelle est la conjecture.

Emphyrio

Le contre exemple P218 et P217 est un cas intéressant on a 1327 et 1361 on remarque que la différence 34 vaut près de 5 fois ln(pn) rien que pour cela c'est surprenant par rapport à la règle sur les écarts moyens. La formule en ln(n)^2 donne 23 c'est mieux mais insuffisant.

Je pense que nous sommes sur un premier contre exemple à "cheval" sur les deux conjectures ainsi il est probable que la deuxième deviennent de plus en plus fiable pour décrire le comportement des grands nombres premiers au fur et à mesure que la première le deviennent de moins en moins.

Fin de partie

Emphyrio ne peut avoir que raison puisque si vous trouvez un contre-exemple, Emphyrio pourra toujours objecter que votre $n$ n'est pas assez grand et qu'il y a peu de chances que vous arriviez à trouver une infinité de contre-exemples. Désolé de me répéter.

Bibix

Emphyrio a dit :

Je pense que nous sommes sur un premier contre exemple

Si tu veux, il y a l'autre contre-exemple $(p_{30}, p_{31})$. Bon de toute façon, tu as déjà écrit sans sourciller $\underset{n \to +\infty}{\lim} \frac{p_{n+1}-p_n}{\ln^2 p_n} = 0$ donc à partir de là, je pense qu'on sait à quoi s'attendre.

Emphyrio

Fin de partie, cette formule, je l'ai malheureusement reprise sans y réfléchir, elle est fausse et inutile. Cette limite est plutôt de l'ordre de 1.

Par ailleurs, il suffit d'intégrer pour obtenir : Pn = anln(n)^2 + b quand n >> 1 avec a proche de 1

Vérifions par dérivation que  (Pn+1 - Pn) <= aLn(n)^2 + 2a.ln(n)

 

Fin de partie

Intégrer? $n$ est une variable qui prend des valeurs entières.

Emphyrio

Fin de partie a dit :

Intégrer? $n$ est une variable qui prend des valeurs entières.

Oui c'est possible d'où l'inégalité et ce d'autant plus que l'on s'intéresse aux n >> 1. En effet, quand n est grand faire varier n de 1 c'est "équivalent" à un dn.