Distribution de Boltzmann sur une variété riemannienne

marco

Bonjour,
On considère un gaz (un grand nombre d'atomes de masse $m$ confinés dans un volume $V$). Les atomes s'entrechoquent, et rebondissent contre les parois. D'après Boltzmann, le nombre d'atomes de vitesse $v=(v_x,v_y,v_z)$ est alors proportionnel à $e^{-E/kT}$ où $E=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2+v_z^2)$. 
On doit pouvoir calculer $kT$ en connaissant l'énergie totale du système et le nombre d'atomes. Je le calculerai demain.
Mais, si on est sur une variété riemannienne, par exemple une sphère $S^3$, et que l'on considère un gaz (c'est-à-dire des atomes qui se déplacent sur cette sphère ou sur cette variété, et qui s'entrechoquent), est-ce que la distribution des vitesses suit encore la distribution de Boltzmann ? 
C'est-à-dire est-ce que le nombre d'atomes de vitesse le vecteur $v$ est proportionnel à $e^{-\alpha v^2}$, où $\alpha$ dépend de l'énergie totale et du nombre d'atomes (ou quelque chose comme ça).
Déjà, il y a un problème pour comparer deux vecteurs vitesse en des points différents de la variété.
Donc est-ce qu'il y a une loi similaire à la distribution de Boltzmann pour un gaz sur une variété ?
Merci d'avance.

YvesM

Bonjour,
Avec Boltzmann, l'énergie moyenne par particule est $\displaystyle {3 \over 2} k_B T$ et donc l'énergie totale du gaz de $N$ particules est $\displaystyle E = N {3 \over 2} k_B T$.
La loi de Boltzmann relie la pression, le volume et la température d'un gaz parfait : elle est formulée en géométrie euclidienne. On ne sait pas la généraliser en géométrie riemannienne parce que le concept de pression, qui implique des forces agissant sur des surfaces, devient inextricable en géométries courbes. 
Cependant, lorsque l'on cherche des équations reliant la matière et l'énergie dans des géométries courbes, on utilise des théories comme la thermodynamique relativiste, la théorie cinétique en géométries courbes, ou encore la thermodynamique des trous noirs. 

YvesM

Bonjour,
Pour être plus précis sur ta question concernant la forme exponentielle de la distribution, lorsque l’on généralise la loi de Boltzmann dans des cas simples, elle prend la forme $\displaystyle \exp(-H(x,p)/k_BT)$ avec $H(x,p)$ le Hamiltonien selon la position $x$ et l’impulsion $p$ : elle donne la densité de probabilité de trouver la particule en $x$ avec $p.$
C’est cette forme qui est utilisée pour l’étude des trous noirs ou en cosmologie. 

marco

Ah d'accord, merci beaucoup @YvesM  !

marco

@YvesM  : est-ce que cela veut dire que l'on peut associer de l'énergie à de la courbure ? Quelle est l'expression de $H(x,p)$ en fonction de la courbure (si ce n'est pas trop compliqué) ? Je connaissais la densité de lagrangien $ \frac{R}{\sqrt{-g}}$ ainsi que le tenseur d'Einstein $R_{ij}-\frac{1}{2}R g_{ij}$.

marco

Je crois que j'ai confondu dans mon dernier message l'hamiltonien de l'espace-temps et l'hamiltonien d'une particule à un endroit donné dans cet espace temps. J'ai trouvé des informations sur internet sur la formulation hamiltonnienne de la relativité générale. Mais quelle est l'expression de l'hamiltonien $H(x,p)$ d'une particule dans un espace-temps ?

YvesM

Bonjour,
le Hamiltonnien d’une particule de masse $m$ non chargée dans un espace temps est la somme de son énergie cinétique et de l’énergie potentielle : $\displaystyle H(x,p)={p^2\over 2 m}+V(x)$… tout simplement (en supposant que le potentiel ne dépend que de la position). 
Puis, selon l’espace temps et sa métrique, et le système de coordonnées choisies, on exprime $x$ et $p$. 

Au signe près, le Hamiltonnien et le Lagrangien, sont calculés dans tous les cours de relativité générale. 

marco

Merci. Je n'aurais pas pensé qu'il y avait une énergie potentielle en relativité générale.

YvesM

Bonjour,
@marco
A strictement parler tu as raison, la notion d'énergie potentielle est floue en relativité générale. La densité lagrangienne contient un terme en $F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$ dont la limite classique correspond à $q \phi - q \vec{v}.\vec{A}$ qui est l'énergie potentielle d'une particule chargée dans ce champ. 

marco

D'accord, merci, je vais regarder dans un cours de relativité générale.