Je suis perdu: hyperbole ou pas?

lesmathspointclaires

Il faudrait solliciter l'avis d'un éxactiste spécialiste de l'égalité (à zéro de préférence)

GaBuZoMeu

Moi par exemple ?

gerard0

Bonsoir GaBuZoMeu.

Voir par exemple "Calcul formel" de Davenport, Siret et Tournier (chez Dunod). La référence n'est pas neuve, mais je n'ai rien vu passer depuis sur ce problème du calcul formel. Il ne s'agit pas de calcul polynomial à coefficients rationnels, mais de calculs utilisant des racines n-ièmes, ou des fonctions autres (trigo, log et exp, ...).

Cordialement.

GaBuZoMeu

@gerard0 :  les racines n-èmes ne posent aucun problème pour l'exactitude des calculs, contrairement à ce que tu as l'air de penser. On ne quitte pas dans ce cas le domaine algébrique, contrairement à ce qui se passe quant on fait intervenir l'exponentielle. Dans le sujet géométrique de ce fil, on reste toujours avec des systèmes polynomiaux. C'est donc une erreur d'évoquer pour ce sujet un problème d'égalité à 0.

lesmathspointclaires

GaBuZoMeu a dit :

Moi par exemple ?

 hihi

lesmathspointclaires

Dans le sujet géométrique de ce fil, on reste toujours avec des systèmes polynomiaux.

@GaBuZoMeu : veux-tu dire que la courbe en question est forcément algébrique (1) ? Si c'est trivialement le cas, je me rends compte que j'ai encore une fois, des a priori complètement faux... mais ce n'est peut-être pas (1) ça que ça implique quand tu dis qu'on reste avec systèmes polynomiaux... J'ai d'ailleurs une question plus générale, mais je la poserai sur un autre fil, et il faudra que j'y réfléchisse un peu avant. Une réponse ici pourra d'ailleurs m'aiguiller ! 😛

gerard0

GaBu : Dans ce cas particulier, c'est possible, je ne suis pas un spécialiste du calcul formel. Mais renseigne-toi vraiment. Et peux-tu répondre positivement à la question de Depasse à laquelle j'avais répondu : "Il reste à espérer que de nos jours un logiciel de calcul formel soit tout de même apte à nous dire si $A_2$ est ou non sur notre hyperbole!".

Cordialement.

Rescassol

Bonsoir,

J'ai des problèmes dans Matlab quand je manipule de grosses expressions contenant des expressions formelles avec des radicaux.
Matlab renacle quelquefois à faire les simplifications que j'attends.
Je m'en sors quelquefois, pas toujours, avec des ruses qui ne sont pas des méthodes générales.

Cordialement,
Rescassol

GaBuZoMeu

Me renseigner sur quoi ? Je pense être assez bien renseigné sur le calcul formel et sur les algorithme de décision d'égalité à 0 pour les nombres algébriques. J'ai coécrit sur ce sujet un article qui compte 202 citations (pas trop mal pour un article de maths)

Oui, je peux répondre positivement à la question de @depasse. Ma première intervention dans ce fil visait justement à rectifier l'impression que laissait ton message. Vraiment, @gerard0, n'as tu pas compris que le message de @Vassillia que j'ai mis en lien certifie de manière exacte que la suite de points ne se trouve pas sur une hyperbole ?

gerard0

Désolé, mais je n'avais pas compris ce message. Je l'ai lu pour ce qu'il est : une autre façon de poser le problème pour éviter d'avoir à faire le calcul proposé.

Question : Les logiciels de calcul formel sont-ils capables de traiter toute expression algébrique (avec des radicaux) pour savoir si elle est nulle ou pas (dans des tailles raisonnables évidemment) ?

Cordialement.

NB: J'espère que je ne t'ai pas vexé, je ne savais pas que tu travaillais dans ce domaine; et tant de gens ignorent même les fondements du calcul formel.

pldx1

@Rescassol.

Avec mon logiciel préféré, le principal problème à gérer est qu'il fait ce qu'on lui a dit de faire.

1. Des fois on veut que $W$ soit une indéterminée algébrique comme une autre, et alors on déclanche soi même les  simplifications en fournissant $\{W^2 = \cdots \}$ come "siderel".  Bref, on se place dans $\mathbb Q [indets]$
   
2. Des fois on veut que $W$ soit un RootOf et on veut le logiciel soit en permanence à l'affut des simplifications, en particulier lorsque des quotients sont en jeu. Bref, on se place dans $\mathbb Q \left( \xi\right)[indets]$
   
3. Et alors, les deux processus ne prennent pas le même temps pour s'exécuter.
   

En outre, il est intéressant d'utiliser plusieurs logiciels différents, pour s'obliger à rester le plus "abstrait" possible.

Cordialement, Pierre.

depasse

Bonjour,
Peut-on déduire du fait qu'une hyperbole et une courbe ont une intersection de cardinal infini dénombrable que la courbe n'est pas algébrique?
Je crains bien sûr que ma question soit stupide ou que la réponse soit triviale.
Mais vous êtes si gentils...
Merci encore
Cordialement
Paul

GaBuZoMeu

depasse a dit :
Peut-on déduire du fait qu'une hyperbole et une courbe ont une intersection de cardinal infini dénombrable que la courbe n'est pas algébrique?

Ta question n'est ni stupide ni triviale. Le résultat général qu'on peut énoncer est le suivant :

Un sous-ensemble semi-algébrique de $\mathbb R^n$ est un sous-ensemble décrit par une combinaison booléenne d'équations et d'inégalités polynomiales. Un sous-ensemble algébrique est bien sûr semi-algébrique.

Un sous ensemble semi-algébrique de $\mathbb R^n$ est une réunion finie de sous-variétés de $\mathbb R^n$. Il est donc soit fini, soit infini de puissance la puissance du continu.

Vu que l'intersection de deux sous-ensembles semi-algébriques est semi-algébrique ...

GaBuZoMeu

Mon logiciel préféré (SageMath) a un module pour les nombres algébriques et les nombres algébriques réels, qui fait des calculs exacts avec ces bêtes. Les "expressions algébriques avec des radicaux" construites à partir des rationnels sont des nombres algébriques.

Voir https://doc.sagemath.org/html/en/reference/number_fields/sage/rings/qqbar.html

gerard0

Merci GaBuZoMeu.

GaBuZoMeu

Avec plaisir.

depasse

Merci à mon tour @GaBuZoMeu
Tu l'auras deviné, je ne sais pas nager dans l'océan des concepts dont la définition contient l'adjectif "algébrique". L'idée que je ne dois pas être le seul ne me dédouane en rien, juste elle me déculpabilise un peu.
Pour me rassurer: les trois petits points à la fin de ton dernier message, ça veut bien dire que ma courbe n'est pas algébrique, n'est-ce pas? (Sinon, c'est que je n'ai rien compris!)
Cordialement
Paul

GaBuZoMeu

Exact, une courbe dont l'intersection avec une courbe algébrique est infinie dénombrable ne peut pas être algébrique (ni même semi-algébrique).

Barjovrille

GaBuZoMeu a dit :

Un sous ensemble semi-algébrique de $\mathbb R^n$ est une réunion finie de sous-variétés de $\mathbb R^n$. Il est donc soit fini, soit infini de puissance la puissance du continu.

Bonjour @GaBuZoMeu , ce type de résultat m'intéresse, est-ce que tu aurais une référence ? 

GaBuZoMeu

Par exemple :

https://perso.univ-rennes1.fr/michel.coste/polyens/SAG.pdf

ou le livre Real Algebraic Geometry

Barjovrille

Merci !

lesmathspointclaires

GaBuZoMeu a dit :

@gerard0 :  les racines n-èmes ne posent aucun problème pour l'exactitude des calculs, contrairement à ce que tu as l'air de penser. On ne quitte pas dans ce cas le domaine algébrique, contrairement à ce qui se passe quant on fait intervenir l'exponentielle. Dans le sujet géométrique de ce fil, on reste toujours avec des systèmes polynomiaux. C'est donc une erreur d'évoquer pour ce sujet un problème d'égalité à 0.

@GaBuZoMeu tu veux dire que la courbe $angle(MBC)=k.angle(MCB)$ est algébrique? ça me surprend, en tout cas que ça soit "immédiat"... Quand on passe au complexe, j'ai l'impression que le lieu est de la forme $r(t)e^{i(k-1)r'(t)}$ avec $r$, $r'$ dans $\mathbb R(t)$ 

lesmathspointclaires

Si on avait $angle(MBC)=k+angle(MCB)$ là par contre on a une conique, je crois, car quand on fait le rapport des complexes on a un argument constant, donc le lieu cherché est l'image d'une droite par une homographie, c'est bien une conique dans ce cas? (j'y coniqueueudal)

GaBuZoMeu

lesmathspointclaires a dit :

@GaBuZoMeu tu veux dire que la courbe $angle(MBC)=k.angle(MCB)$ est algébrique?

Où suis-je censé avoir écrit cela ? Je dis que la question "hyperbole ou pas" se résout avec des calculs polynomiaux.

Par ailleurs, si $k$ est entier la courbe $\widehat{MBC}=k\,\widehat{MCB}$ est algébrique.

lesmathspointclaires

@GaBuZoMeu : ok, merci pour ces précisions. 

depasse

Bonjour,
@GaBuZoMeu nous diras-tu le degré de la courbe lorsque $k$ est entier?
Très cordialement
Paul

Ludwig

$2k$ ? Quand on prend les angles modulo $\pi/2$.

Ludwig

On utilise la loi des cosinus et les polynômes de Tchebychev : $\cos(n\theta))=T_n(\cos(\theta))$, $T_n$ de degré $n$. Par exemple, avec $B=(-1,0)$ et $C=(1,0)$ on trouve que l'ensemble des points $M$ tels que $\widehat{MBC}=4\,\widehat{MCB} \; (*)$ est inclus dans la réunion de : $$3 x^{4} - y^{4} + 2 x^{2} y^{2} - 4 x^{3} - 12 x y^{2} - 6  x^{2} + 10 y^{2} + 12  x - 5  =0,$$ $$ 5  x^{4} + y^{4} - 10  x^{2}  y^{2} - 12  x^{3} + 12  x  y^{2} + 6  x^{2} - 2  y^{2} + 4  x - 3 = 0 :$$

Chaque branche de cette courbe vérifie une égalité du type $(*)$ : $\widehat{MBC}=4\,\widehat{MCB}$ sur $(\Gamma)$, $\widehat{MBC}=4\,(\pi/2-\widehat{MCB})$ sur $(\Delta)$, etc.

lesmathspointclaires

Ludwig a dit :

$2k$ ? Quand on prend les angles modulo $\pi/2$.

Pour $k=1$ et $2$ c'est $k$

depasse

Donc pour $1, 2$ et $4$, c'est $k$.
Serait-ce général ou dû au fait que ce sont des puissances de $2$?

Ludwig

C'est $k$ en général si on se limite à $\widehat{MBC}=4\,\widehat{MCB}.$

depasse

C'est joli! je l'imaginais mais n'ai pas su le prouver!
Une coquille: tu as gardé $4$ dans un copié collé: il faut le remplacer par $k$.