Je suis perdu: hyperbole ou pas?

depasse

Bonjour,

$A_0BC$ est un triangle;
Pour tout $i\in\mathbb N^*$, $A_i$ est le centre du cercle inscrit dans $A_{i-1}BC$.

Question: Les $A_i $ sont-ils coconiques? (je l'ai cru, mais ce serait trop beau. En tout cas, pas fichu de le prouver). Si, par bonheur, ils le sont, à quelle conique appartiennent-ils? Sinon, appartiennent-ils à une courbe plus compliquée qu'une conique mais pas trop compliquée quand-même?

A vot' bon coeur
Cordialement
Paul

Chaurien

Excellente question, pour laquelle les aides électroniques me sembleraient utiles, plutôt que pour redémontrer les propriétés du cercle d'Euler...

Ludwig

Bonsoir,

Je pense que c'est vrai mais ce n'est pas facile à voir avec GGB : il me dit que non si je procède banalement (*), mais ici on atteint vite les limites du logiciel car la suite des triangles converge vers un triangle aplati.

Alors j'ai pris un cas particulier, dans l'espoir de pouvoir trouver l'équation exacte de l'hyperbole : $A_0(1,0)$, $B(0,1)$ et $C(-1,0)$. On procède alors comme (*), on arrondit les résultats à deux décimales pour essayer de lier linéairement les coefficients de la conique. On trouve $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$. Ensuite le logiciel me dit que les dix termes suivants sont sur cette hyperbole donc a priori c'est bon.

(*) On construit les cinq premiers termes de la suite puis on demande la distance du sixième à la conique. On trouve une distance non nulle mais très petite (de l'ordre du millionième).

PS : on peut démontrer ce résultat dans ce cas particulier : si $A$ est un point de l'hyperbole $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$ alors le centre du cercle inscrit à $ABC$ est aussi sur cette hyperbole. Et alors le cas général n'est plus très loin.

lesmathspointclaires

salut depasse! bien synthétisé l'idée que tu as eu sur l'autre fil, mais attention, comme le fil (je me souviens plus exactement ce qu'il y avait) parlait de quasi-égalité, il faut de méfier, car $\sin x=x$ au voisiage de 0

lesmathspointclaires

il faudrait déjà trouver les foyers $F,G$ de l'hyperbole suspectée, on a alors pour tout $M$ dessus $MG-MF=cste$, à mon avis sous cet angle on sera fixé

Rescassol

Bonsoir,

J'ai l'impression que ce n'est pas vrai.
J'ai demandé à Géogébra la conique passant par $A_2,...A_6$, puis zoomé sur $A_1$ et $A_0$.
Dans les deux cas, on voit que $A_1$ et $A_0$ ne sont pas sur la conique.

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

En fait ce n'est pas toujours une hyperbole, on obtient une ellipse si le triangle initial est suffisamment aplati.

Ludwig

@Rescassol : je ne crois pas qu'on puisse conclure de cette façon, car le triangle devient trop plat pour que le logiciel soit suffisamment précis. À mon avis c'est encore un cas où il nous induit en erreur.

Vassillia

Bonjour, je ne voudrais pas décourager les troupes mais cela me semble faux,

Contre-exemple triangle avec $BC=2$, $CA_0=3$ et $A_0B=4$

def norm(P):
    return P/(Linf*P)

def vecteur(P1,P2):
    return norm(P2)-norm(P1)

def distance2(P1,P2) :
    vec=vecteur(P1,P2)
    return vec*pyth*vec    
    
def verco(P):
    return vector([P[0]^2,P[1]^2,P[2]^2,P[0]*P[1],P[1]*P[2],P[0]*P[2]])

def centreinscrit(P1,P2,P3): #TriangleCenter(P1,P2,P3,1)
    disA=sqrt(distance2(P2,P3))
    disB=sqrt(distance2(P1,P3))
    disC=sqrt(distance2(P1,P2))
    return disA*norm(P1)+disB*norm(P2)+disC*norm(P3)

a=2.0
b=3.0
c=4.0
#version coordonnées barycentriques
#var('a b c' , domain='positive') #a=Distance(B,C) ; b=Distance(C,A) : c=Distance(A,B)
Linf=vector([1,1,1])
pyth=1/2*matrix([[0,-c^2,-b^2],[-c^2,0,-a^2],[-b^2,-a^2,0]]) #cercle circonscrit à ABC

A0=vector([1,0,0])
B=vector([0,1,0])
C=vector([0,0,1])

A1=centreinscrit(A0,B,C)
A2=centreinscrit(A1,B,C)
A3=centreinscrit(A2,B,C)
A4=centreinscrit(A3,B,C)
A5=centreinscrit(A4,B,C)

mat=matrix([verco(A0),verco(A1),verco(A2),verco(A3),verco(A4),verco(A5)])
print(det(mat))

Si on regarde $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ et $A_5$ alors ils ne sont pas coconiques, on devrait trouver un déterminant nul et on trouve un déterminant de l'ordre de $10^{-7}$, ce n'est pas beaucoup mais c'est non nul.

lesmathspointclaires

GG Vassillia !!

lesmathspointclaires

Il faut juste faire attention avant de conclure trop vite à une chose : si hyperbole il y a ce n'est que sur une portion d'arc qui je crois est distincte de l'une des deux composantes connexes dans son intégralité, je crois que $M$ sur l'hyperbole tel que $(BM)$ perpendiculaire à $(BC)$ délimite cette portion, en effet les rapports d'angles ne passent pas au modulo)
Est-ce que tes calculs prennent en compte la globalité de l'hyperbole, si c'est le cas c'est normal que ça ne passe pas (j'ai essayé de regarder le code mais je ne comprends pas, il me manque des éléments^^ mea culpa je n'ai pas encore eu le temps de me pencher sur sage, je suis sur un truc en ce moment mais ce n'est pas tant une excuse!!:p)

Sinon pour être fixé, peut-être que tu peux calculer $A_6$ ...?

raoul.S

Vassillia a dit :

on devrait trouver un déterminant nul et on trouve un déterminant de l'ordre de $10^{-7}$, ce n'est pas beaucoup mais c'est non nul.

Je ne dis pas que c'est le cas ici mais il faut faire attention à ce genre de situation lorsqu'on travaille en virgule flottante. Par exemple voici ce que répond sagemath lorsqu'on lui demande si 1.01 est strictement plus grand que 1.005+0.005 : 

depasse

Merci à tous pour votre intérêt à ma question et pardon d'avoir utilisé le stratagème de @Zermel0 pour me faire lire plus surement.
Cordialement
Paul

lesmathspointclaires

🤣🤣🤣

Vassillia

Si j'avais eu une réponse beaucoup plus petite je me serais inquiétée puisque par défaut c'est 53 bits de précision mais là, je ne pense pas que cela puisse poser problème. D'ailleurs, si je recommence en changeant la précision, je trouve toujours le même résultat alors que $1.01-1.005-0.005$ donne de l'ordre de $10^{-16}$ en 53 bits et de l'ordre de $10^{-300}$ en 1000 bits

R=RealField(1000)
a=R(1.01)
b=R(1.005)
c=R(0.005)
a-b-c

Je n'ai pas trop compris ce que tu dis lesmathspointclaires, les 6 points sont coconiques ssi le déterminant de la matrice 6x6 est nul, je ne m'occupe pas de savoir si c'est une hyperbole ou autre chose.

lesmathspointclaires

@Vassillia si c'est ça et qu'il n'y a pas de faute alors je pense qu'il n'y a pas de doute.
Je disais juste que (bien) définir une courbe par un rapport d'angle constant n'est possible que si les angles sont égaux (l'addition passe au quotient dans $R/Z$  mais pas la multiplication) . D'ailleurs à, mon avis la courbe qui passe par tous les $A_i$ n'est même pas polynomiale. Le fait que ça soit très proche d'une conique, vient sans doute de la proximité de $x$ et $sinx$ au voisinage de $0$

Ludwig

Tu as raison @Vassillia de dire qu'il ne faut pas conclure trop vite, et je me méfie moi aussi de ton résultat. Et d'ailleurs je retournerais volontiers ton argument contre ta conclusion, en disant que c'est la proximité de $x$ et $sinx$ au voisinage de $0$ qui fausse le calcul. Et non pas fait en sorte que le sixième point ne soit pas indiqué comme étant sur la conique.

Il faut une preuve. En prenant par exemple $A_0(1,0)$, $B(0,1)$ et $C(-1,0)$ je pense qu'on peut démontrer que tous les centres sont sur $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$. Certes c'est un cas particulier, mais GGB nous dit que c'est faux.

Ludwig

On peut noter au passage que dans mon exemple la distance entre $A_5$ et $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$ est trois fois plus petite que celle entre ce point et l'hyperbole calculée par GGB (celle qui passe par $A_0$,... $A_4$). Certes elle n'est pas nulle (de l'ordre de $10^{-15}$), mais cette division par $3$ donne à réfléchir..

Ludwig

J'ai fait le calcul (*) dans mon cas particulier et c'est vrai : si $B(0,1)$, $C(-1,0)$ et $A$ un point de l'hyperbole $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$ (la bonne branche, celle d'équation $y=-2x + \sqrt{3x^{2} + 4x + 2} - 1$) alors le centre du cercle inscrit à $ABC$ est aussi sur cette branche d'hyperbole.

(*) en complexes : si $A(a)$, $B(b)$ et $C(c)$ alors l'affixe du centre $I$ est $(aAB+bBC+cAB)/(AB+AC+BC)$.

Vassillia

Certes Ludwig et quand je teste ton exemple donc avec

R=RealField(53)
a=R(sqrt(2))
b=R(2)
c=R(sqrt(2))

Je trouve bien un déterminant nul donc le problème ne me semble pas venir de la précision, d'ailleurs s'il venait de la précision, on s'en rendrait compte en l'augmentant, non ?

Ludwig

Oui, sans doute. Mais comme le triangle devient vite très aplati, demander au logiciel l'intersection des bissectrices avec une grande précision cela doit être coton. Peut-être que la précision nécessaire augmente très vite avec le rang du terme de la suite ?

Et une petite erreur sur les premiers termes pourrait s'amplifier.

Je pense que mon calcul dans un cas particulier doit se généraliser.

lesmathspointclaires

Ludwig a dit :

Tu as raison @Vassillia de dire qu'il ne faut pas conclure trop vite, et je me méfie moi aussi de ton résultat. Et d'ailleurs je retournerais volontiers ton argument contre ta conclusion, en disant que c'est la proximité de $x$ et $sinx$ au voisinage de $0$ qui fausse le calcul. Et non pas fait en sorte que le sixième point ne soit pas indiqué comme étant sur la conique.

Il faut une preuve. En prenant par exemple $A_0(1,0)$, $B(0,1)$ et $C(-1,0)$ je pense qu'on peut démontrer que tous les centres sont sur $x^2+4xy+y^2+2y-1=0$. Certes c'est un cas particulier, mais GGB nous dit que c'est faux.

Je n'ai pas compris ce que tu dis Ludwig, tu sembles me répondre alors que tu as mis arobaze Vassilia... je n'ai pas compris non plus "retourner ton argument contre ta conclusion"

Et pas non plus "il faut une preuve" si le logiciel a montré ça c'est que c'est bon, et si tu as un doute sur la précision, rien n'empêche de faire les calculs quà fait sage à la main.

Encore faudrait-il être capable de les lire.

Pourquoi ne pas créer un logiciel qui traduit automatiquement ce que fait sage en langage humain. Pourquoi que ça serait à nous de s'adapter et pas ce Sage qui vient à peine d'arriver sur notre planète !!

Bientôt peut-être les enfants Sage diront, les Sages descendent de l'homme🤩😆  et on dira "ce n'est pas au vieux sage qu'on apprend à faire la grimince"

Vassillia

Sauf que je ne me sers pas de l'intersection des bissectrices, uniquement des distances de chaque côté du triangle... 

Désolée @Ludwig mais tu ne me sembles pas avoir beaucoup d'arguments pour l'instant à part que tu as envie que cela se généralise.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas @lesmathspointclaires ? C'est super simple, j'utilise le fait qu'en barycentriques dans le repère $A$, $B$ et $C$, le cercle inscrit a pour centre $(a:b:c)$ avec $a=Distance(B,C)$ ; $b=Distance(C,A)$ et $c=Distance(A,B)$ puis que le déterminant de la matrice formée des veroneses doit être nul ( voir ce lien pour plus de précision https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337689/une-demonstration-complexe-de-lhexagone-de-pascal/p1 )

lesmathspointclaires

Par contre @Vassilia je viens de me rendre compte qu'un des angles adjacents à $BC$ est obtus et ça ça peut changer la donne.

Personne ne comprend pourquoi? vous m'étonnez....

lesmathspointclaires

C'est pour ça qu'il faut un sixième point, ou partir d'un triangle où les deux angles adjacents à $BC$ sont aigus

Vassillia

Je ne vois pas où tu veux en venir, si tu veux essayer, je te laisse t'amuser avec mon code pour les cas qui t'intéressent désormais. Tu peux tester sur https://sagecell.sagemath.org/ tu choisis les distances a, b et c comme tu veux initialement et tu peux vérifier que les coordonnées barycentriques sont correctes ou non en les reportant sous geogebra, que les points vérifient telle équation ou pas ... 

C'est difficile de passer en calcul exact à cause des racines qui s'accumulent à chaque étape mais vu qu'on peut avoir la précision qu'on veut, cela me semble bien suffisant pour un contre-exemple.

lesmathspointclaires

@depasse : la définition de la courbe par rapport d'angles constant n'est n'est manifestement* pas une conique : j'ai contourné le problème du voisinage de $0$ en prenant d'autres bissectrices (ce qui revient à découper l'angle décimalement (en base 2)

Sur la figure, les bissectrices = 10-sectrices (0=2) sont en rose, les droites "du dessus" sont des sections non-puissance de 10=2, qui permettent de tester la conjecture (générale de l'autre fil) pour des valeurs qui ne tendent pas géométriquement vers $0$

Notez que j'ai subtilement changé $A_0$ en $A_{0^0}$** pour ne pas avoir à écrire $A_1$ (qui, lui, devient est $A_{0.1}$ puisque c'est l'idée : d'associer chaque point à la portion commune des angles initiaux à laquelle il est associé ; )

https://www.geogebra.org/classic/nxkgpvbh

**trop malin LMPC
*pour moi, n'en déplaise à Ludwig au sujet d'une autre discussion, c'est pratiquement une preuve : on ne peut rien conclure quand on a des incidences, mais des non-incidences manifestes et sans ambiguïté - comme c'est le cas sur la figure - constituent si ce n'est une preuve strictement formelle, une preuve formalisable, je dis cela avec un taux de doute  de 10^{-7}😂😂😂😂😂

lesmathspointclaires

Vassillia a dit :

Je ne vois pas où tu veux en venir

Pardon, j'aurais dû préciser mieux le contexte relatif à ce fil où depasse, au cours d'une discussion, formule la conjecture que le lieu des points $M$ tels que les angles géométriques $BCM$ et $CBM$, ont un rapport constant est un arc d'hyperbole (remarque que le rapport des angles $BCA_i$ et $CBA_i$ du problème du présent post ne dépend pas de $i$). depasse parle d'angle géométrique (je crois que c'est défini modulo $\pi/2$, mais il faut que je vérifie... peu importe de toute façon car (et c'était là où je voulais en venir))
Au mieux, le lieu ne peut  être qu'un arc, car sinon le paramétrage n'est pas bien défini.
Qu'on prenne des angles géométriques ou pas, on aura toujours un problème de définition du fait que $R/Z$ est un groupe additif mais pas un corps : la multiplication ne passe pas au quotient.

Prenons par exemple un rapport entre les angles  de $111$. Pour des très petits angles inférieurs à $\pi/222$ pas de problème, mais pour un angle de disons $\pi/3$ quel représentant de $111\pi/3$ prendre?

Je ne sais pas où se situent les problèmes de définitions (est-ce modulo $\pi/2$, modulo $2\pi$, $\pi$ ou autre ...) mais ce dont je suis certain c'est qu'il y a un problème de définition.

Je ne doute pas que ton contrexemple soit juste, et je ne comprends pas trop les objections qui lui sont faites (peut-être qu'elles sont justifiées, mais comme je ne peux pas encore lire ton code (merci pour le lien d'ailleurs)  je ne me prononce pas plus que ça, même si ça me semble très étrange de douter à ce niveau) 
J'ai moi-même donné un lien GGB dans mon post précédent qui "montre sans ambigüité" que la conjecture générale est fausse (si on croit GGB quand il montre clairement une non-incidence, qui perdure quand on modifie les paramètres)

Par contre, pour nier la conjecture générale qui de toute façon ne peut être formulée que via  un "il existe un arc..." (quitte à préciser plus tard quelle taille a cet arc, encore faut-il que ce soit vrai pour "il existe" hahaha)
on ne peut se contenter d'un contre-exemple, encore faut-il formuler cette conjecture : je propose :
Il existe une hyperbole qui intersecte un nombre infini de points du paramétrage (forme faible à renforcer éventuellement, et à mon avis, si c'est vrai, c'est déjà énorme)

Pour résumer, je n'attaque pas du tout la véracité de ton contrexemple, au contraire, j'ai dit direct bravo ! Je me demande juste si ça suffit à condamner toute la problématique, en rappelant que par essence elle a un caractère restreint par la bonne définissable, mais je comprends en tout cas maintenant que manquant de ces infos tu n'aies pas saisi où je voulais en venir, mea culpa ^^

pldx1

Bonjour.

On prend  $B=-1$, $C=+1$, $A_0=0.5+i$. Et on calcule les $A_j$ par la méthode barycentrique indiquée par Vassillia.

Puis on calcule la conique $\gamma$ passant par $A_2,A_3,A_4,A_5,A_6$. Enfin, on calcule $\gamma(A_1)$. Et on recommence avec un nombre croissant de décimales. $$\left[\begin{array}{cl} n & \gamma(A_1) \\30 & - 0.1664699489205349573225311 \\ 40 & - 0.16646994892053513646948213799531583 \\ 50 & - 0.166469948920535136469482135122240859553252673 \\ 60 & - 0.1664699489205351364694821351222408595532526749725603397 \end{array}\right]$$
On en conclut que l'hyperbole fait de son mieux pour rester cachée. Une version non conspirationiste serait qu'il n'y a pas d'hyperbole du tout, mais on connait l'amour des ordinateurs pour le mensonge et la dissimulation.

Cordialement, Pierre.

lesmathspointclaires

Vassillia a dit :

Sauf que je ne me sers pas de l'intersection des bissectrices, uniquement des distances de chaque côté du triangle... 

Désolée @Ludwig mais tu ne me sembles pas avoir beaucoup d'arguments pour l'instant à part que tu as envie que cela se généralise.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas @lesmathspointclaires ? C'est super simple, j'utilise le fait qu'en barycentriques dans le repère $A$, $B$ et $C$, le cercle inscrit a pour centre $(a:b:c)$ avec $a=Distance(B,C)$ ; $b=Distance(C,A)$ et $c=Distance(A,B)$ puis que le déterminant de la matrice formée des veroneses doit être nul ( voir ce lien pour plus de précision https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/2337689/une-demonstration-complexe-de-lhexagone-de-pascal/p1 )

Je n'avais pas vu pardon! 
C'est un peu dur de lire le code quand on ne pratique pas, c'est pour ça... mais merci de ton explication en tout cas, j'étais étonné que tu ne l'aies précisé nulle part, comme tu le fais souvent quand une confusion ou incompréhenrion pointe son nez... j'avais raté ce mail[i-mailo^^], surement que j'en écrivais un en même temps

depasse

Bonjour,
deux ou trois choses que je crois savoir de ma quasyperbole qui pourraient peut-être simplifier des calculs.

Notation:  $XYZ$ abrège "la mesure de l'angle géométrique de sommet $Y$ dans le triangle $XYZ$".
Donnée:  $k\in \mathbb {R_{>1}}$
Définitions:  $ B:=(-1,0); C:=(k,0); S_k:=\{M |\ MBC=k\ MCB\}$

Propriétés:
1) Dès que $A_0$ appartient à $S_k$, tous les $A_i$ aussi. En particulier, $A_\infty=O=(0,0)$.
2)$S_k$ a $(BC)$ comme axe de symétrie.
3)$S_k$ a deux asymptotes de pentes $\pm \tan {\dfrac{\pi}{k+1}}$.

Possibles simplifications des calculs:
On choisit $A_0$ sur $S_k$ d'abscisse $-1$ et d'ordonnée positive.
$A_0=(-1,(k+1)\tan {\dfrac{\pi}{2k}})$.
$A_1=(\dfrac{ (k+1)\tan {\dfrac{\pi}{4k}}   }{ \tan {\dfrac{\pi}{4k}} +1  }-1,\dfrac{ (k+1)\tan {\dfrac{\pi}{4k}}   }{ \tan {\dfrac{\pi}{4k}} +1  })$.
Notre hyperbole est la conique qui passe par $O, A_0,A_1$ et leurs symétriques par rapport à $ (BC)$.
On évite ainsi de trop aplatir les triangles et d'engendrer des approximations perverses. 
Il reste à espérer que de nos jours un logiciel de calcul formel soit tout de même apte à nous dire si $A_2$ est ou non sur notre hyperbole!
Cordialement
Paul

gerard0

Bonjour Depasse.

"Il reste à espérer que de nos jours un logiciel de calcul formel soit tout de même apte à nous dire si $A_2$ est ou non sur notre hyperbole!"

Si j'ai bien compris, ça revient à décider si un nombre est nul ou pas. Alors il faut savoir que l'égalité à 0 est un des grands problèmes non résolu du calcul exact, évidemment pour des expressions compliquées, en particulier celles contenant des racines carrées.

Sauf si des progrès récents ont été accomplis, dont je n'aurais pas entendu parler.

Cordialement.

depasse

Merci @gerard0
Tu m'en bouches un coin!

lesmathspointclaires

@depasse

Si tu as les asymptotes tu peux calculer les foyers, peut-être que ça va aider.
De toute façon la réponse à cette conjecture est fausse, tu as vu mon lien géogebra plus haut?

Par contre il y a des choses troublantes et une.des  autre.s 'quashyperboles' différentes pour le même $k$ (lorsquon sort du triangle), parfois  sur des arcs très grands, je pense qu'un specialiste de Fourier serait le bienvenu pour expliquer ces phénomènes

Ludwig

Je les sens pas ces calculs numériques, il me faut une preuve.

Que donnent-ils si on prend $B=-1$, $C=1$ et $A_0=(2/3,\sqrt{5/3})$?

Vassillia

De l'ordre de $10^{-11}$ avec 53 bits mais c'est proche de la précision et surtout, on voit que c'est instable

53 bits -> -5.82076609134674e-11

55 bits -> -1.455191522836685e-11

57 bits -> -7.275957614183426e-12

alors je teste en 1000 bits et cela fait $0$

Il n'y a pas ce problème pour le contre-exemple précédent, désolée mais comme pour moi, l'exercice est résolu, j'ai du mal à me motiver à trouver un contre-exemple permettant un calcul exact pas trop pénible.

Il ne faut pas croire pldx1 quand il dit que l'ordinateur dissimule volontairement et sournoisement l'hyperbole.

Ludwig

Ah bon ? En tous cas c'est marrant. 

Merci pour ces calculs. Si on prend $B (-1,0)$ et $C(1,0)$ je propose de démontrer que l'ensemble des points $A_0$ du plan pour lesquels la courbe obtenue est une conique est l'hyperbole d'équation $3x^2-y^2+2x=1$ (une branche, celle qui passe par $(1/3,0)$, plus sa symétrique par rapport à l'origine bien sûr).

GaBuZoMeu

Bonjour,

On peut procéder dans l'autre sens : étant donné $B,C,Z$, calculer le $Z'$ tel que $Z$ soit le centre du cercle inscrit dans le triangle $BCZ$. Ça ne marche que pour $Z$ contenu dans le disque de diamètre $BC$, mais passons.

L'avantage, c'est que $Z'$ est une fonction rationnelle de $Z$. Ça ouvre la voie à un calcul exact.

Pour jouer avec l'application rationnelle $Z\mapsto Z'$ de degré 4 du plan sur le plan : https://www.geogebra.org/m/ccvumutt

marco

Si $\beta_n$ est l'angle en $B$ formé par $(BA_n)$ et $(BC)$ et $\gamma_n$ est l'angle en $C$ formé par $(CA_n)$ et $(CB)$, alors $ \gamma_n/ \beta_n=k$ est constant (ne dépend pas de $n$).
Donc soit $b=BA_n$, et $c=CA_n$, alors $b \cos (\beta_n)+c \cos (k \beta_n)=1$ (si $B$ est en $z=0$ et $C$ en $z=1$).
Et $b \sin( \beta_n)=c \sin (k \beta_n)$.
Donc l'affixe de $A_n$ est sur la courbe $ \beta \in \R \mapsto e^{i  \beta}\frac{\sin k\beta}{\sin (k+1) \beta}$.

Vassillia

Bon d'accord pour le calcul exact (bonne idée @GaBuZoMeu ) 

Avec $B=(-1,0)$ et $C=(1,0)$ et $A_0=(7569159528148020212400756929230606770244863310091847993117220477207905610283831768025/283316741810197529835125935788755223182698688474477711625931197348377692601869274069471, 12407057036452134125887828581485396131509638765395084988621613886551113518875827289600/16665690694717501755007407987573836657805805204381041860348893961669276035404074945263)$

On trouve

$A_1=(41122367903960322816911931199843728825/1919093193589958933849492549557811867903, 1159556148832285354578101584771480838400/3499522882428748644078486413899539288529)$

$A_2=(3635937488840775/178757308601114881, 28843944933148800/178757308601114881)$

$A_3=(10425/519167, 51979200/648439583)$

$A_4=(25/1249, 2499/62450)$

$A_5=(1/50, 1/50)$

Ce qui donne un déterminant qui vaut $-4878452743230426735474380381980406834263562096617594456563960968057536196909127473265072102381612474874830544911510897704063835736610447964107162407631185223206915883779101125635042150055158323137941768807096094224637482161326761853945907060005385378201600000000/1709287637973451886640911478534237220571837252655499896416642875790152964265508716138146018996116788153759244395159405562037998392085338344944173776218337927083153168872826143714985484159387345331665409781993439861736763318141986564407708066841385467382972572190854123176506981753433$ soit environ $-3.10^{-21}$

C'est toujours non nul !

Vous n’êtes pas content de la tête des valeurs exactes que j'ai choisi ? Tant pis, je vous laisse essayer. 

Si on garde les $B$ et $C$ proposés par Ludwig alors $A_{i-1}=((x^2 - y^2 - 1)x/(x^2 + y^2 - 1), 2(x + 1)(x - 1)y/(x^2 + y^2 - 1))$ avec $A_i=(x,y)$ mais attention, on peut avoir $A_i$ en tant que centre d'un cercle exinscrit

Rescassol

Bonjour,

En suivant l'idée de GaBuZoMeu, si on a $Z(X;Y),B(-1;0),C(1;0)$, le point  $Z'$ tel que $Z$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $Z'BC$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{X(X^2-Y^2-1)}{X^2+Y^2-1};\dfrac{2Y(X^2-1)}{X^2+Y^2-1}\right)$

Cordialement,
Rescassol

Ludwig

Avec $B(-1,0)$ et $C(1,0)$ on vérifie facilement par calcul que la branche de l'hyperbole $3x^2-y^2+2x=1$ passant par $(1/3,0)$ est incluse dans l'ensemble des points $A_0$ donnant une conique (qui est alors cette même hyperbole).

Pour l'inclusion réciproque on part de l'équation générale d'une conique qui, compte-tenu ici de la symétrie, doit être de la forme $ax^2+cy^2+2dx+f=0$. En écrivant ensuite que si un point $(u,v$) est sur cette courbe alors $\left(\dfrac{u(u^2-v^2-1)}{u^2+v^2-1};\dfrac{2v(u^2-1)}{u^2+v^2-1}\right)$ doit y être aussi j'ai trouvé que $f=2d-a$. On prend alors $c=-1$ pour trouver $ax^2-y^2+2dx+2d-a=0$.

Ludwig

Bon pour trouver $f=2d-a$ je crois que j'ai fait un truc que je n'avais pas le droit de faire (j'ai pris $u=1$). Je reprends : on part de $ax^2+cy^2+2dx+f=0$, on peut prendre $c=-1$, ensuite on remplace $(x,y)$ par $\left(\dfrac{u(u^2-v^2-1)}{u^2+v^2-1},\dfrac{2v(u^2-1)}{u^2+v^2-1}\right)$. On touille avec l'égalité $v^2=au^2+2du+f$ pour trouver : $$u^2 \Big( u^2(a^2-2a-3)-4d^2+2af+2a+2f+6 \Big)=(3-f)(f+1).$$ Et maintenant qu'est-ce qu'on fait ? Je dirais bien que comme cette égalité doit être vérifiée pour une infinité de $u$ ces deux membres doivent être nuls. Oui ? Il faut en particulier que $a^2-2a-3=0$, on trouve $a=3$ ou $a=-1$, il faut que $f=-1$ ou $f=3$, il faut aussi que $2d^2=a+f+af+3$. Alors on teste les possibilités et on trouve les deux branches hyperboliques précitées.

lesmathspointclaires

Pour illustrer ce que je disais à propos du forcement plusieurs "quasi-hyperboles" ça arrive même dans un triangle acutangle !
https://www.geogebra.org/classic/nxkgpvbh

Ludwig

Il y a aussi deux solutions dégénérées en partant de $B=-1$ et $C= 1$ : $3x^2-y^2 \pm 6x+3=0$.

Ah non c'est faux : un point $A_0$ d'une de ces droites est envoyé sur une autre droite.

depasse

Bonjour,
tant de beau monde!
Qu'il existe $A_0BC$ tel que tous les $A_i$ sont sur une même hyperbole n'implique pas que pour tout $Z_0$ sur cette hyperbole tous les $Z_i$ sont sur cette hyperbole.
Est-ce un peu de cela dont tu parles @lesmathspointclaires?
Cordialement
Paul

lesmathspointclaires

@depasse, je n'ai pas compris ce que tu crois que je dis^^ (il y a peut-être une typo?)
J'ai dit plusieurs choses mais principalement  que l'ensemble des M tels que $angle MBC=k .angle MCB$ n'est bien défini que sur un arc (de cercle) (d'autant plus petit que $k$ est grand, et aussi j'ai une figure géogébra qui "montre" que tous les points ne sont pas sur une hyperbole. Mais peut-être qu'on a des réunions d'hyperbole, à mon avis, c'est soit ça, soit la courbe cherchée n'est pas polynomiale, car les proximités sont tellement grandes que j'ai du mal à imaginer qu'une fonction polynomiale même si c'est "par morceaux" puisse aussi bien en approcher une autre, mais, je me trompe peut-être. Peut-être que le fait que les calculs montrent qu'au voisinage de 0 ça ne va pas, viennent du fait qu'on a changé d'hyperbole, ça serait un peu gros, mais pourquoi pas, il faut faire le calcul peut-être partir des formules de @marco, je n'ai pas du tout le temps de m'y pencher mais dès que ça sera le cas, si personne n'a résolu ce mystère, j'y réfléchirai.

Je rappelle l'énoncé faible que je proposais dans un commentaire :lesmathspointclaires a dit :

Il existe une hyperbole qui intersecte un nombre infini de points du paramétrage (forme faible à renforcer éventuellement, et à mon avis, si c'est vrai, c'est déjà énorme)

lesmathspointclaires

gerard0 a dit :

Bonjour Depasse.

"Il reste à espérer que de nos jours un logiciel de calcul formel soit tout de même apte à nous dire si $A_2$ est ou non sur notre hyperbole!"

Si j'ai bien compris, ça revient à décider si un nombre est nul ou pas. Alors il faut savoir que l'égalité à 0 est un des grands problèmes non résolu du calcul exact, évidemment pour des expressions compliquées, en particulier celles contenant des racines carrées.

Sauf si des progrès récents ont été accomplis, dont je n'aurais pas entendu parler.

Cordialement.

Passionnante remarque ! Et l'égalité à 1, c'est un problème résolu du calcul exact ? 🤣🤣🤣🤣

Rescassol

Bonjour,

Vu que $a=1$ est équivalent à $a-1=0$, la réponse est la même.

Cordialement,
Rescassol

Rescassol

Bonsoir,
 
> Alors il faut savoir que l'égalité à 0 est un des grands problèmes non résolu du calcul exact,
> évidemment pour des expressions compliquées, en particulier celles contenant des racines carrées.

(...) ce constat sur l'égalité à 0 est correct.
Ce problème fait l'objet de recherches et n'est pas résolu à ma connaissance, ce qui le rend intéressant.
En tous cas, il m'intéresse et il me faut régulièrement des ruses dans Matlab pour le contourner.

Cordialement,
Rescassol

GaBuZoMeu

Bonsoir,

Je ne comprends pas en quoi l'égalité à 0 serait un problème du calcul exact. Du calcul numérique, je veux bien. Mais du calcul exact sur les rationnels ou même sur les réels algébriques, en quoi est-ce un problème ? Voir par exemple le calcul exact de @Vassilia : https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2507804/#Comment_2507804